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| Aufgabe | | Berechnung von [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-sin^{2}(x)}\*cos(x) dx} [/mm] mit Substitution y = [mm] 1-sin^{2}(x) [/mm] |
Meine Lösung: y(x) = [mm] 1-sin^{2}(x)
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = -2 [mm] \* [/mm] sin(x) [mm] \* [/mm] cos(x)
dx = [mm] \bruch{dy}{-2 \* sin(x) \* cos(x)} \Rightarrow
[/mm]
Integrationsgrenzen: y(0) = [mm] 1-sin^{2}(0) [/mm] = 1
[mm] y(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] 1-sin^{2}(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-sin^{2}(x)}\*cos(x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{1}^{0}{\wurzel{y} \*\bruch{cos(x)}{-2 \* sin(x) \*cos(x)}dy }
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{y} \*\bruch{1}{2 \* sin(x) }dy}
[/mm]
und weiter weiß ich leider nicht. Herauskommen soll: [mm] \bruch{\pi}{4}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 11.11.2024 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathemurmel,
mit deiner Substitution kommt man nicht so weit wie mit einer anderen Ersetzung, zumindest meine ich das.
Was haben wir denn (jetzt mal ohne die Integralgrenzen)?
[mm] \int\wurzel{(1-\sin^2(x))} \cdot \cos(x) \, dx [/mm]
Bei dem Wurzelausdruck und dem quadratischen Sinus sollte dir was auffallen, nämlich [mm] \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 [/mm]
Damit kann man nämlich sehr schön die Wurzel substituieren, denn [mm] \wurzel{(1-\sin^2(x))} = \cos(x) [/mm]
Dann steht da nur noch [mm] \int{\cos^2(x)} \, dx [/mm] und [mm] \cos^2(x) = \bruch{1}{2} \cdot (1 + \cos(2x)} [/mm]. Diesen Ausdruck zu integrieren, das ist wirklich nicht wild und führt zu Deinem Ergebnis. Du siehst, eine Substitution ist es schon, aber Du brauchst hierbei nicht die Integrationsvariable zu ändern.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Hiho,
auch deine Substitution wäre zielführend, wenn du sie korrekt ausgeführt hättest.
Du machst einen fundamentalen Fehler, den ich immer wieder sehe:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-sin^{2}(x)}\*cos(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{1}^{0}{\wurzel{y} \*\bruch{cos(x)}{-2 \* sin(x) \*cos(x)}dy }[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{y} \*\bruch{1}{2 \* sin(x) }dy}[/mm]
Auf einem Schmierzettel kannst du das bis hierhin so schreiben, hast aber bereits unsaube gearbeitet, denn: Der Ausdruck ergibt, so wie er da steht, gar keinen Sinn.
Du hast hinten bereits $dy$ stehen, im Integranden taucht aber noch $x$ auf.
Das darf nach einer Substitution schlichtweg nicht mehr sein.
D.h. den "übriggebliebenen" Ausdruck [mm] $\sin(x)$ [/mm] hättest du gemäß deiner Substitution ersetzen müssen.
Du hast als Substitution gewählt: $y = [mm] 1-sin^2(x)$, [/mm] demzufolge ist (im Integrationsbereich) [mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] \sqrt{1-y}$
[/mm]
Und du kommst auf das zu lösende Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{y} \bruch{1}{2 \sqrt{1-y} }dy}[/mm]
Aber ob das jetzt lösbarer ist, musst du entscheiden…
Gruß,
Gono
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