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Forum "Integration" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 So 10.11.2024
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Berechnung von  [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-sin^{2}(x)}\*cos(x) dx} [/mm]  mit Substitution  y = [mm] 1-sin^{2}(x) [/mm]

Meine Lösung:   y(x) = [mm] 1-sin^{2}(x) [/mm]

            [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = -2 [mm] \* [/mm] sin(x) [mm] \* [/mm] cos(x)
            dx =  [mm] \bruch{dy}{-2 \* sin(x) \* cos(x)} \Rightarrow [/mm]

Integrationsgrenzen:  y(0) = [mm] 1-sin^{2}(0) [/mm] = 1

                      [mm] y(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] 1-sin^{2}(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0
            
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-sin^{2}(x)}\*cos(x) dx} [/mm]
  = [mm] \integral_{1}^{0}{\wurzel{y} \*\bruch{cos(x)}{-2 \* sin(x) \*cos(x)}dy } [/mm]
  = [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{y} \*\bruch{1}{2 \* sin(x) }dy} [/mm]

und weiter weiß ich leider nicht. Herauskommen soll:  [mm] \bruch{\pi}{4}. [/mm]

        
Bezug
Integration durch Substitution: Andere Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mo 11.11.2024
Autor: Infinit

Hallo Mathemurmel,
mit deiner Substitution kommt man nicht so weit wie mit einer anderen Ersetzung, zumindest meine ich das.
Was haben wir denn (jetzt mal ohne die Integralgrenzen)?
[mm] \int\wurzel{(1-\sin^2(x))} \cdot \cos(x) \, dx [/mm]
Bei dem Wurzelausdruck und dem quadratischen Sinus sollte dir was auffallen, nämlich [mm] \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 [/mm]
Damit kann man nämlich sehr schön die Wurzel substituieren, denn [mm] \wurzel{(1-\sin^2(x))} = \cos(x) [/mm]
Dann steht da nur noch [mm] \int{\cos^2(x)} \, dx [/mm] und [mm] \cos^2(x) = \bruch{1}{2} \cdot (1 + \cos(2x)} [/mm]. Diesen Ausdruck zu integrieren, das ist wirklich nicht wild und führt zu Deinem Ergebnis. Du siehst, eine Substitution ist es schon, aber Du brauchst hierbei nicht die Integrationsvariable zu ändern.
Viel Spaß dabei,
Infinit

Bezug
        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mo 11.11.2024
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

auch deine Substitution wäre zielführend, wenn du sie korrekt ausgeführt hättest.
Du machst einen fundamentalen Fehler, den ich immer wieder sehe:

> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-sin^{2}(x)}\*cos(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{1}^{0}{\wurzel{y} \*\bruch{cos(x)}{-2 \* sin(x) \*cos(x)}dy }[/mm]
>  
>   = [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{y} \*\bruch{1}{2 \* sin(x) }dy}[/mm]

Auf einem Schmierzettel kannst du das bis hierhin so schreiben, hast aber bereits unsaube gearbeitet, denn: Der Ausdruck ergibt, so wie er da steht, gar keinen Sinn.
Du hast hinten bereits $dy$ stehen, im Integranden taucht aber noch $x$ auf.
Das darf nach einer Substitution schlichtweg nicht mehr sein.
D.h. den "übriggebliebenen" Ausdruck [mm] $\sin(x)$ [/mm] hättest du gemäß deiner Substitution ersetzen müssen.

Du hast als Substitution gewählt: $y = [mm] 1-sin^2(x)$, [/mm] demzufolge ist (im Integrationsbereich) [mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] \sqrt{1-y}$ [/mm]

Und du kommst auf das zu lösende Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{y} \bruch{1}{2 \sqrt{1-y} }dy}[/mm]

Aber ob das jetzt lösbarer ist, musst du entscheiden…

Gruß,
Gono

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