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Forum "Integralrechnung" - Integration durch Substitution
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Integration durch Substitution: oder doch Produktintegration?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 So 23.04.2006
Autor: Icyangel

Aufgabe
[mm] e^x [/mm] * (3- [mm] e^x) [/mm]

Hi;)

Meine Frage ist, woran ich erkenne, ob ich nun Integration durch Substitution anwenden muss, oder die Produktintegration.

Mein Beispiel ist:

[mm] e^x [/mm] * (3- [mm] e^x) [/mm]

Kann mir jmd mal einen Tipp geben?

        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 So 23.04.2006
Autor: Disap


> [mm]e^x[/mm] * (3- [mm]e^x)[/mm]
>  Hi;)

Servus.

> Meine Frage ist, woran ich erkenne, ob ich nun Integration
> durch Substitution anwenden muss, oder die
> Produktintegration.

Bei gebrochenrationalen Funktionen handelt es sich meistens um Integration durch Substitution. Im Nenner (unter dem Bruchstrich) steht irgendein Ausdruck z. B. [mm] x^3, [/mm] dessen Polynomgrad (die 3) um 1 höher ist als im Zähler - dort steht z. B. [mm] x^2. [/mm] Beim Umwandeln von dx ins dz (oder wie man es auch nennen möchte) kürzt sich das [mm] x^2 [/mm] weg.

Produktintegration oder partielle Integration immer dann, wenn du ein Produkt hast

[mm] x*e^x [/mm]

Der Trick bei der Produktintegration ist es, das u so zu wählen, dass x  beim ableiten wegfällt. Hier würden wir u=x nehmen, denn u'=1

> Mein Beispiel ist:
>  
> [mm]e^x[/mm] * (3- [mm]e^x)[/mm]
>  
> Kann mir jmd mal einen Tipp geben?

Produktintegration geht hier schlecht, da [mm] e^x [/mm] abgelitten immer noch [mm] e^x [/mm] ist. Das bringt dich also nicht weiter.
Also Substitution.
Oder du multiplizierst die Klammer aus. Dann kannst du es wie gewohnt integrieren.

Substitution sieht so aus:

[mm] $\int e^x [/mm] * (3- [mm] e^x) [/mm] dx$

$z:= [mm] e^x$ [/mm]

$z'= [mm] e^x$ [/mm]

$dx = [mm] \br{dz}{z'} [/mm] =  [mm] \br{dz}{e^x}$ [/mm]

Eingesetzt

[mm] $=\int \red{e^x} [/mm] * (3-z) [mm] \br{dz}{\red{e^x}}$ [/mm]

rot kürzt sich weg

[mm] $=\int [/mm] (3- z) dz$

Alles klar?

MfG!
Disap

Bezug
        
Bezug
Integration durch Substitution: ausmultiplizieren
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 So 23.04.2006
Autor: kampfsocke

Hallo,

bei deinem Beispiel geht es noch einfacher.

[mm] e^{x}*(3-e^{x})=3e^{x}-e^{2x} [/mm]

[mm] \integral_{a}^{b}{3e^{x}-e^{2x} dx}= 3e^{x}- \bruch{1}{2}e^{2x} =e^{x}*(3- \bruch{1}{2}e^{x}) [/mm]

Zur Kontrolle ableiten bestätigt das Ergebnis.

Viele Grüße,
Sara

Bezug
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