Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sali |
| Aufgabe | Integrale sollen durch Substitution gelöst werden:
a) [mm] \integral{x \wurzel{x-1}dx}
[/mm]
b) [mm] \integral{ \bruch{ (x^3)+x}{(x^4)+2(x^2)}dx} [/mm] |
Hallo!
also hab das jetz sooo oft versucht aber komm einfach nicht hinter die geheimnisse der substitution..
weiss nur dass man sich einen geeigneten term suchen und = z setzten und ihn dann ableiten muss, mehr nicht:(
warum macht man das und vor allem wie? wie finde ich diesen term heraus und gibt es ein schema nach dem man immer vorgehen kann??
bitte helft mir!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sali |
oh, habe irgendwas falsch gemacht, die integrale sollen natürlich vor den ausdruck..
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Hallo,
ich habe deine Integrale mal editiert. Hier zur ersten Aufgabe. Vielleicht schaffst du ja die zweite alleine.
Wir substituieren so, dass wir aus dem Radikanden die Wurzel ziehen können.
Das wäre also [mm] x=z^{2}+1. [/mm] Dann folgt
[mm] x*\wurzel{x-1}=(z^{2}+1)*\wurzel{z^{2}}=z^{3}+z
[/mm]
und für die Ableitung [mm] \bruch{dz}{dx}=2z [/mm] und daraus [mm]dx=2z*dz[/mm] .
Wenn du das dann durchrechnest, kommt man auf folg. Stammfunktion:
[mm] \bruch{2}{3}(x-1)^{3/2}+\bruch{2}{5}(x-1)^{5/2}+C.
[/mm]
Alles klar? VG
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sali |
Danke für die schnelle Antwort!
muss da nicht:
dz = dx * 2x?
also ich hab das jetz mal gemacht, hab aber raus:
(2/5)(x-1)^(1/5) + (2/3)(x-1)^(3/2) + C ?
Was ist denn richtig?
So, und bei der 2. Aufgabe habe ich:
[mm] (1/4)ln((x^4)+(2 x^2)) [/mm] + C , stimmt das denn?
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Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> muss da nicht:
>
> dz = dx * 2x?
Na ja, du musst doch für dx etwas ersetzen, da ja z gewissermaßen substituiert wird.
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> also ich hab das jetz mal gemacht, hab aber raus:
>
> (2/5)(x-1)^(1/5) + (2/3)(x-1)^(3/2) + C ?
>
> Was ist denn richtig?
Deine Antwort stimmt. 
Ich werde es oben gleich ändern!
>
>
> So, und bei der 2. Aufgabe habe ich:
>
> [mm](1/4)ln((x^4)+(2 x^2))[/mm] + C , stimmt das denn?
Wie hast du das denn gerechnet? Da muss ja wahrscheinlich eine Partialbruchzerlegung machen. Mein Programm hier bekommt als Integral [mm] 0,5ln(x)+0,25ln(x^{2}+2) [/mm] . Rechne noch mal nach.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Fr 14.07.2006 | | Autor: | sali |
also ich habe bei der antwort t= [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2(x^2) [/mm] gesetzt, dann
dt= [mm] 4(x^3) [/mm] + 4x = 4( [mm] (x^3) [/mm] + x)
dann 1/4 mal Integral dt/t = 1/4 ln t
weil ja der zähler die ableitung vom nenner ist ( und wenn das gilt kann man doch dann einfach schreiben ln t)
so und für t hab ich dann [mm] x^4 [/mm] + 2 [mm] x^2 [/mm] eingesetzt und kam zu dem ergebnis
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Hallo,
also ich habe deinen Lösungsweg gerade mal nachvollzogen und keinen Fehler gefunden. Dann habe ich beide Funktionen, also dein und mein Ergebnis mal zeichnen lassen. Die Funktionsgraphen sind deckungsgleich. Somit ist das schon irgendwie dasselbe, auch wenn es nicht so scheint.
Viele Grüße
Daniel
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