Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Man ermittle Integral 1/sinhx dx mit Hilfe der Substitution [mm] t:=e^x [/mm] |
hallo...habe sinhx durch [mm] 1/2(e^x+e^-x) [/mm] ersetzt und habe nun Integral [mm] 1/(1/2(e^x+e^-x)) [/mm] dx.....könnte mir jmd jetzt weiterhelfen?....müsste jetzt ja das t mit einbringen...weiß nur nicht genau wie...wäre für einen tipp sehr dankbar...mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 27.08.2006 | | Autor: | riwe |
hallo,
zunächst heißt es
[mm] sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
wenn du noch [mm] e^{x}=u [/mm] substituierst, lautet das integral 2 [mm] \integral_{}{}\frac{ du}{u^{2}-1}
[/mm]
und das ist ein standardintegral (artanh(u) bzw. arctanh(u))
|
|
|
| |
|
hey sorry aber habe es jetzt die ganze zeit versucht zu lösen....aber komme nicht auf das richtige ergebnis...könnte mir jmd noch ein paar rechenschritte zeigen?....zum einen wie man nach der substitution auf [mm] t^2-1 [/mm] un dann folgend...vielen dank im voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 27.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sandrihho!
Bedenke, dass gilt: [mm] $e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x}$
[/mm]
Damit wird dann:
[mm] $\bruch{1}{\sinh(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{e^x-e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{e^x-\bruch{1}{e^x}} [/mm] * [mm] \blue{\bruch{e^x}{e^x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*e^x}{\left(e^x\right)^2-1}$
[/mm]
Die Substuitution $u \ := \ [mm] e^x$ [/mm] mit $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{du}{e^x}$ [/mm] liefert dann folgendes Integral:
[mm] $\integral{\bruch{1}{\sinh(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{2*e^x}{\left(\red{e^x}\right)^2-1} \ dx}$$ [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{2*e^x}{\red{u}^2-1}* \blue{\bruch{du}{e^x}}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{\bruch{1}{u^2-1} \ du} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral{\bruch{1}{(u+1)*(u-1)} \ du}$
[/mm]
Dieses Integral ist nun durch Partialbruchzerlegung des Bruches zu lösen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
hallo erstmal danke..aber habe jetzt ein weiteres problem..bis dahin ist es jetzt kein prob mehr..aber wenn ich das anfangsintegral mit dem TI integriere bekomme ich [mm] ln(e^x-1/e^x+1) [/mm] heraus..wenn ich jedoch das untere integriere bekomme ich -ln(u+1/u-1) heraus...oder ist das dasselbe?...mfg
|
|
|
|
Logarithmusgesetz