Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Sippox |
| Aufgabe | | Bestimmen sie das Integral durch geeignete Substitution: [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] |
Hi,
ich habe Probleme bei der Substitution. Zum einen ist mir die Bedeutung und der Umgang mit dx nicht klar. Meines Wissens gibt dx die Breite und f(x) die Höhe der Rechtecke an.
Bei dieser Aufgabe würde ich jetzt [mm] 1-x^2 [/mm] durch beispielsweise z ersetzen, dann hätte ich:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{z} dx} [/mm]
Jetzt ist mir nicht klar, wie ich weiter vorgehen muss, da ich mit den Differentialen nicht klar komme.
f'= [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG Sippox
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 15.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> Bestimmen sie das Integral durch geeignete Substitution:
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm]
> Hi,
> ich habe Probleme bei der Substitution. Zum einen ist mir
> die Bedeutung und der Umgang mit dx nicht klar. Meines
> Wissens gibt dx die Breite und f(x) die Höhe der Rechtecke
> an.
Naja, nur geht dx ja gegen Null. Da sind wir bei dem Problem:
So richtig verstehen kann man das kaum, da es sich um eine hemdsärmlige Schreibweise handelt. Die ist aber praktisch.
> Bei dieser Aufgabe würde ich jetzt [mm]1-x^2[/mm] durch
> beispielsweise z ersetzen, dann hätte ich:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{z} dx}[/mm]
>
> Jetzt ist mir nicht klar, wie ich weiter vorgehen muss, da
> ich mit den Differentialen nicht klar komme.
>
> f'= [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] oder nicht?
Jain. $y(x)' = [mm] \bruch{dy}{dx}$ [/mm] Und dann betreibt man mit dem dy und dx locker Bruchrechnung.
Für Deinen Fall: Du hast nun als Variable z im Integral, aber hinten steht noch dx. Das mußt Du nun in ein dz verwandeln. Mit $z(x) = [mm] 1-x^2$ [/mm] hast Du $z(x)' = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -2x$ und damit $dx = [mm] \bruch{dz}{-2x}$.
[/mm]
Das ist aber immer nach nicht in Ordnung, denn nun hättest Du immer noch ein x im Integral.
[mm]\integral_{}^{}{\wurzel{z}\bruch{1}{-2x} dz}[/mm]
Das muß weg. Dazu mußt Du $z = [mm] 1-x^2$ [/mm] nach x auflösen und einsetzen: $x = [mm] \pm\wurzel{1-z}$
[/mm]
[mm]\integral_{}^{}{\wurzel{z}\bruch{1}{-2(\pm\wurzel{1-z})} dz}[/mm]
Das ist nun ein Hinweis darauf, dass diese Substitution nicht wirklich zur Lösung beiträgt.
Nur zur Übung: Bilde mal x(z) und dann [mm] $\bruch{dx}{dz}$ [/mm] und setze ein.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> MfG Sippox
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Sippox,
wenn ich noch ergänzen darf:
wenn du weisst, dass [mm] \sin^2+\cos^2=1 [/mm] , probiere mal die substituition:
[mm] x(z):=\sin(z)
[/mm]
Du brauchst auch hier dann natürlich [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] , dh die Ableitung von x nach z
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 15.11.2006 | | Autor: | CPH |
denke dir das a und das b an den integralen weg!
also dein Integral:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1-x^{2}}dx}lässt [/mm] sich nach genauer betrachtung (qudratische Gleichung)als
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1^{2}-x^{2}dx}}=\integral_{a}^{b}{\wurzel{(1-x)*(1+x)}dx}schriben.
[/mm]
nun kannst du partiell integrieren:
du kennst die Formel:
[mm] \integral_{a}^{b}{u'*v dx}=[u*v]-\integral_{a}^{b}{u*v' dx}
[/mm]
für dein Integral ergibt sich:
[mm] u'=\Wurzel [/mm] {1-x}
[mm] \Rightarrow [/mm] U= [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{(1-x)}dx} [/mm] das kannst du nun mit Substitution lösen ich würde z=1-x wählen [mm] \rightarrow \bruch{dz}{dx}=z'(x)=-1
[/mm]
für dein Integral U= [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{(1-x)}dx}ergibt [/mm] sich:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{(z)}*(-1)dz}
[/mm]
da man Konstanten vor das Integral ziehen darf ist das gleich:
- [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{(z)}dz} [/mm] =
[mm] -\integral_{a}^{b}{(z)^(-\bruch{1}{2}) dz}=-[2 z^\bruch{1}{2}]= -2\wurzel{(z)}
[/mm]
Rücksubstitution :
[mm] =-2\wurzel{(1-x)}=U
[/mm]
analog für v
[mm] v=\wurzel{(1+x)}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2\wurzel{(1+x)}}
[/mm]
Daraus ergubt sich für dein Integral:
[mm] \integral_{a}^{b}{\Wurzel {1-x}*\wurzel{(1+x)} dx}=[-2\wurzel{(1-x)}*\wurzel{(1+x)}]-\integral_{a}^{b}{-2\wurzel{(1-x)}*\bruch{1}{2\wurzel{(1+x)}} dx}
[/mm]
also, wenn du das jetzt wider und wider partiell integrierst könntest du zu einer lösung kommen oder auch nicht....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sippox,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Hier führt folgende Substitution zum Ziel: $x \ := \ [mm] \sin(t)$ [/mm] mit $x' \ = \ [mm] \cos(t)$ [/mm] sowie [mm] $\sin^2(t)+\cos^2(t) [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
