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Forum "Integralrechnung" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration durch Substitution: Integration
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Do 01.03.2007
Autor: RedWing

Hallo,
ich habe ein Problem mit folgendem bestimmten Integral:

[mm] \integral_{3}^{4}{1/ \wurzel{25-x^2} dx} [/mm]

Und zwar habe ich es mit Hilfe von Substitution versucht, bekomme aber nie die Summe in der Wurzel weg, da ja die Ableitung von [mm] 25-x^2 [/mm] 2x wäre.
Ich hoffe mir kann jdm helfen, für Hilfe wäre ich sehr dankbar.

MfG RedWing

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Do 01.03.2007
Autor: leduart

Hallo
wegen 1-sin^2x=cos^2x denkt man bei sowas direkt an sin oder cos: Substitution: x=5*sinu: dx=5cosu du
Gruss leduart

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Fr 02.03.2007
Autor: RedWing

Dabke für deine Hilfe, aber so richtig verstehe ich immer noch nicht, wie du darauf gekommen bist und wie man nun weiterechnen soll?



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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Fr 02.03.2007
Autor: angela.h.b.


> Dabke für deine Hilfe, aber so richtig verstehe ich immer
> noch nicht, wie du darauf gekommen bist

Hallo,

darauf kommen tut man, wie leduart bereits sagte, weil man weiß daß 1-sin^2x=cos^2x - und weil man es schon oft gemacht hat.

>und wie man nun

> weiterechnen soll?

Auch das hat Dir leduard gezeigt:

Setze  x=5sinu

dann ist dx=5cosu.

Nun ersetzt Du im Integral das x durch 5sinu  und das dx durch 5cosu.

Klappt's? Sonst: zeig mal!

Gruß . angela



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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Fr 02.03.2007
Autor: RedWing

Hm ja aber dadurch komme ich doch auch nicht weiter, wenn ich das jetzt so einsetze wie du gesagt hast, dann steht da:

[mm] \integral_{3}^{4}{5*cos(u) / \wurzel{25-(25*sin²(u)} } [/mm]

So, aber das hilft mir doch jetzt auch nicht weiter oder hab ich was falsch gemacht?



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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Fr 02.03.2007
Autor: angela.h.b.


> Hm ja aber dadurch komme ich doch auch nicht weiter, wenn
> ich das jetzt so einsetze wie du gesagt hast, dann steht
> da:
>  
> [mm]\integral_{3}^{4}{5*cos(u) / \wurzel{25-25*sin^2(u)} }[/mm]
>  
> So, aber das hilft mir doch jetzt auch nicht weiter oder
> hab ich was falsch gemacht?

Das wird Dir gleich helfen, Du hst das richtig eingesetzt.

Eine Sache noch:

wenn Du substituierst, verändern sich natürlich die Integrationsgrenzen.

Wir hatten  x=5 sinu  ==> u=arcsin [mm] \bruch{x}{5}. [/mm]

Nun müssen ja die neuen Grenzen zur neuen Variablen u passen.

Untergrenze=arcsin [mm] \bruch{3}{5} [/mm]
Obergrenze=arcsin [mm] \bruch{4}{5} [/mm]

Also heißt es richtig

[mm] \integral_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}{5*cos(u) / \wurzel{25-25*sin^2(u)} } [/mm]

[mm] =\integral_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}{5*cos(u) / \wurzel{25(1-sin^2(u)}) } [/mm]

Was weißt Du über [mm] (1-sin^2(u))? [/mm] Einsetzen. Weitermachen.

Gruß v. Angela

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Fr 02.03.2007
Autor: RedWing

ah ok jetzt seh ichs. ;)

Also wenn ich dann weiterrechne, dann erhält man doch [mm] \wurzel{25} [/mm] * [mm] \wurzel{cos^2(u)} [/mm] im Nenner.

So nun kann man kürzen, wenn ich dann bis zum Schluss rechne bekomme ich  sin(u) als Stammfunktion?

Ist das jetzt richtig?

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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Fr 02.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo RedWing,

das passt nicht

mit der angegebenen Substitution lässt sich dein Integral [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{25-x^2}}dx} [/mm] umschreiben zu

[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{25-25sin^2(u)}}\cdot{}5cos(u)du}=\integral{\bruch{5cos(u)}{\wurzel{25(1-sin^2(u))}}du}=\integral{\bruch{5cos(u)}{\wurzel{25cos^2(u)}}du}=\inegral{1du}=u=arcsin\left(\bruch{x}{5}\right) [/mm] [Rücksubstitution: [mm] x=5sin(u)\Rightarrow \bruch{x}{5}=sin(u)\Rightarrow u=arcsin\left(\bruch{x}{5}\right) [/mm]


Gruß

schachuzipus

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Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Fr 02.03.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wenn Du die Grenzen verändert hast, also die ganze Zeit mit bestimmten Integralen gerechnet, brauchst Du natürlich keine Rücksubstitution:

> $ [mm] \integral_{3}^{4}{5\cdot{}cos(u) / \wurzel{25-25\cdot{}sin^2(u)} } [/mm] $
> =...

$ [mm] =\integral_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}{1du } [/mm] $

[mm] =x|_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}} [/mm]

Gruß v. Angela


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