Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Zu lösen über Integration durch Substitution |
Hi,
also ich habe grundsätzliche Verständnisschwierigkeiten bei Integration durch Substitution.
Vielleicht können wir das ja auch anhand der Aufgabe diskutieren, müssen es aber nicht.
Also partielle Integration ist mir klar, da denke ich kriege ich sogar die Herleitung hin. Man schreibt ja nur das Integral vor die Produktregel der Differentialrechung und stellt das um.
Die Grundform der Intg. durch Subst. verstehe ich auch, also wenn es z.B. so da steht:
[mm] \integral{f(g(x))g'(x)dx} [/mm] = F(g(x)) wobei F die Stammfunktion von f(x) ist.
Das folgt ja sofort aus der Kettenregel der Differentialrechnung.
Ich habe aber Probleme bei Aufageben, bei denen nicht gleich die Ableitung also g'(x) nebendran steht.
Was ich bisher mitbekommen habe ist:
Man macht eine glückliche Ersetzung, modelt das dx irgendwie nach dx/du um, das entspricht dann gerade der Ableitung und schreibt das ganze hin.
Zu der Aufgabe:
Ich habe mir schon Gedanken gemacht, aber nicht darüber amüsieren ;):
Also die einzigste verkette Funktion die ich sehe ist [mm] e^{2t}
[/mm]
Also mache ich den Ansatz u = 2t
Erste Frage: Wird dadurch das [mm] e^t [/mm] des Zählers zu [mm] e^{\frac{1}{2}u} [/mm] =
[mm] \intergal{\frac{\sqrt{e^u}}{e^u + 1}} [/mm] oder ist es auch möglich die Substitution nur auf den Nenner anzuwenden?
Durch scharfes Beobachten meine ich müsste es dann so ausshen (jedoch versteh ich den Teil mit den Differenzialen nicht, ich mache es einfach nur):
[mm] \integral{\frac{\sqrt{e^u}}{e^u +1}} [/mm] * [mm] \frac{du}{2}
[/mm]
So und nun ist Schluss, hier komm ich nur mit partieller Integration weiter, die hätte man aber schon gleich zu Anfang machen können, nur soll die Aufgabe halt über Substitution gelöst werden.
Ich habe beobachtet, dass es reicht dx durch [mm] \frac{du}{Ableitung d. Substitution} [/mm] hinzuschrieben, aber wirklich verstehen tu ich das leider nicht!
Danke für das Lesen eines langen Textes ;)
Grüße Mumrel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Mumrel,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Zu lösen über Integration durch Substitution
> Zu der Aufgabe:
> Ich habe mir schon Gedanken gemacht, aber nicht darüber
> amüsieren ;):
> Also die einzigste verkette Funktion die ich sehe ist
> [mm]e^{2t}[/mm]
> Also mache ich den Ansatz u = 2t
>
> Erste Frage: Wird dadurch das [mm]e^t[/mm] des Zählers zu
> [mm]e^{\frac{1}{2}u}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
= > [mm]\intergal{\frac{\sqrt{e^u}}{e^u + 1}}[/mm] oder ist es auch
> möglich die Substitution nur auf den Nenner anzuwenden?
Nein, denn dann hättest du ein Integral mit 2 Variablen - das müsste sich dann irgendwie rauskürzen, ist aber ein unsauber Weg.
Das kann man machen, wenn im substituierten Differential noch die alte Variable drin steht und sich das dann gegen einen Teil des Integranden rauskürzt
>
> Durch scharfes Beobachten meine ich müsste es dann so
> ausshen (jedoch versteh ich den Teil mit den Differenzialen
> nicht, ich mache es einfach nur):
>
> [mm]\integral{\frac{\sqrt{e^u}}{e^u +1}}[/mm] * [mm]\frac{du}{2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> So und nun ist Schluss, hier komm ich nur mit partieller
> Integration weiter
Das liegt daran, dass die Substitution nicht so gut gewählt war, das Integral mit der Wurze sieht ja eher noch schlimmer aus als das Ausgangsintegral
, die hätte man aber schon gleich zu
> Anfang machen können, nur soll die Aufgabe halt über
> Substitution gelöst werden.
>
> Danke für das Lesen eines langen Textes ;)
> Grüße Mumrel
>
Die Schwierigkeit beim Substituieren ist oft, eine passende Substitution zu finden, so dass sich das Integral irgendwie vereinfacht.
Hier würde ich es eher mit einer Substitution [mm] $u=e^t$ [/mm] angehen.
Damit wäre dann [mm] $t=\ln(u)$ [/mm] und [mm] $\frac{dt}{du}=\frac{1}{u}$ [/mm] und damit [mm] $dt=\frac{du}{u}$
[/mm]
Wenn du das nun im Ausgangsint. ersetzt, ergibt sich:
[mm] $\int{\frac{e^t}{e^{2t}+1}dt}=\int{\frac{u}{u^2+1}\frac{du}{u}}=\int{\frac{1}{u^2+1}du}$
[/mm]
Und das ist ein Standardintegral. Anschließend nur noch resubstituieren
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Di 22.05.2007 | | Autor: | Mumrel |
Kannst du nochmals erklären, wie genau das mit dem Differenzial ersetzten funktioniert.
Also warum muss man es ersetzten. dx steht ja für die infinitsmal kleine Breite meiner Rechteckfuntion.
Wenn ich jetzt einen Teil meiner Funktion ersetzte bleibt doch das dx unverändert.
Und warum macht man den Ansatz mit der Ableitung?
Ich habe jetzt echt in vielen Büchern und im Netz gesucht und gelsen. Es wird praktisch überall erklärt, wie vorzugehen ist, jedoch nicht warum.
Ein Bsp:
--------------------------------------------------------------------
[mm] \integral{f(g(x))g'(x)}
[/mm]
Wir setzten u = g(x) und erhalten [mm] \integral{f(u)u'dx}
[/mm]
Weil unsere neue Variable nun u heißt statt x müssen wir im Integral auch das Differential dx ersetzten durch du.
Warum? Wie lautet die Begründung?
Nun gilt offensichtlich:
Wie kommt man auf den folgenden Ansatz?
u' = [mm] \frac{du}{dx}= [/mm] g'(x) ,
woraus wir dx = [mm] \frac{1}{g'(x)} [/mm] errechnen.
--------------------------------------------------------------------
Ich freue mich über jeden Erklärungsversuch, da ich mit meinem Latein langsam am Ende bin :(...
Grüße Murmel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mumrel (oder Murmel?) !
Sieh mal hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]), da habe ich das schon mal versucht zu erkären ...
Gruß
Loddar
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Loddar,
Murmel oder Mumrel ist egal, ich identiiziere mich inzwischen mit beiden Namen ;)
>Wenn wir nun bei der Substitution eine neue Variable (wie bei mir >also z.B. $ t_ $) einführen, müssen wir dementsprechend auch die >Streifenbreite von $ dx_ $ in $ dt_ $ umwandeln.
[mm] \integral{x^2 dx} [/mm] u = [mm] x^2 [/mm] => [mm] \integral{u dx}
[/mm]
Ich weiß das sollte ein du dahinter und noch mehr, aber die Frage ist, warum muss das Differential überhaupt angpasst werden.
Die Integration wurde bei uns über Zerlegungen und gleichmäßige Konvergenz eingeführt.
Wenn ich nun aber eine Zerlegung [mm] U_{n} [/mm] (n, sei die Anzahl der Intervalle) für [mm] x^2 [/mm] habe , so kann ich doch die gleiche Zerlegung auch nehmen um die substituierte Version u zu berechnen.
Ja mehr noch, die konkrete gewählte Zerlegung spielt doch bei der Berechnung des Integrals keine Rolle.
Du siehst ich sehe schon den ersten Schritt nicht wirklich ein.
Das man eine andere Höhe erhält ist klar, aber die Breite also gerade das dx bzw. du kann doch gleich bleiben??
Und des weitere Frage ich mich wie man auf den Ansatz mit [mm] \frac{du}{dx} [/mm] = u' ==> dx = [mm] \frac{du}{u'} [/mm] kommt. Ich sehe den Ansatz in der allgemeinen Substitutionsregel nicht.
Es ist ja Rechenen mit Differentialen, aber wie kommt man da drauf, was legitimiert das?
Vielleicht findest du noch ein paar Worte für einen verwirrten Studenten ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Grüße Mumrel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 29.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo mumrel
[mm] \centerline{Zur Substitutionsregel 1}
[/mm]
[mm] \medskip
[/mm]
[mm] \noindent
[/mm]
Die verbreiteten Schwierigkeiten mit der Substitutionsregel kommen daher, dass seit Newton und Leibniz verschiedene Verabredungen sowohl für Funktionsnamen wie zur [mm] Be\-zeichnung [/mm] der Ableitung üblich sind. Diese passen nicht immer gut zusammen. --- Manche Funktionen haben Namen, wie [mm] $\sin, \exp,...$, [/mm] andere werden durch explizite Rechenausdrücke definiert, wie $f(x):= [mm] 3x^2+5x^3$. [/mm] Wenn man nur [mm] $3x^2$ [/mm] geschrieben sieht, weiß man nicht, ob die Funktion [mm] $x\mapsto 3x^2$ [/mm] gemeint ist oder die reelle Zahl, die z.B. die Gleichung [mm] $3x^2-2x-2=0$ [/mm] löst. Der Unterschied zwischen Funktionsnamen und Funktionswerten ist wichtig.
[mm] \noindent
[/mm]
Bei der Ableitung haben wir einerseits Newton's Bezeichnungen:
[mm] \hfil \break
[/mm]
$f', f'(x), [mm] \sin' [/mm] = [mm] \cos, \exp'(x)=\exp(x)$ [/mm] und weniger beliebt [mm] $(x^2)' [/mm] = 2x$
[mm] \hfil \break
[/mm]
und andererseits Leibniz' Bezeichnungen:
[mm] \hfil \break
[/mm]
${df [mm] \over [/mm] dx}$, bei längeren Namen auch ${d [mm] \over [/mm] dx}f$, zum Beispiel
${d [mm] \over dx}(3x^2 [/mm] + [mm] 5x^3)= [/mm] 6x + [mm] 15x^2$. [/mm] Unüblich ist [mm] ${d\sin \over dx}$,
[/mm]
stattdessen vermischt man lieber Funktionsnamen und Werte und schreibt ${d [mm] \over dx}\sin(x)$.
[/mm]
[mm] \medskip
[/mm]
[mm] \noindent
[/mm]
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt, dass man für stetige $f$ Integrale [mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx$ mit Stammfunktionen $F, F'=f$ berechnen kann:
$$F(x) - F(a) = [mm] \int_a^x F'(s)ds=\int_a^x [/mm] f(s)ds.$$
Hier versteht jeder, was gemeint ist, auch wenn das $ds$ unter dem Integral fehlt.
[mm] \hfil \break
[/mm]
Nun sei $h$ eine Hilfsfunktion mit [mm] $h(\alpha)=a, h(\xi)=x$, [/mm] dann gilt wieder mit dem Haupsatz:
$$F(x) - F(a) = [mm] F(h(\xi))-F(h(\alpha)) [/mm] = [mm] \int_\alpha^\xi (F\circ [/mm] h)'(t)dt =
[mm] \int_\alpha^\xi (f\circ [/mm] h)(t)h'(t)dt.
$$
Beachte, dass in diesen Newtonschen Bezeichnungen der Name der Integrationsvariablen [mm] {\bf keine} [/mm] Rolle spielt. Außerdem ist das $dt$ nicht unbedingt erforderlich, aber üblich. [mm] Ver\-gleicht [/mm] man die beiden Ausdrücke für $F(x) - F(a)$ so hat man die Substitutionsregel mit der Substitutionsfunktion
$s = h(t)$. Die Probleme mit der Substitutionsregel entstehen, wenn nicht Funktionen mit Namen sondern Funktionen, die durch Formeln definiert sind, integriert und substituiert werden sollen. Dafür sind Leibniz' Bezeichnungen praktischer, man muß nur in Kauf nehmen, dass der Unterschied zwischen Funktionen und Variablen verschwimmt. In Leibniz' Bezeichnungen lautet die Kettenregel:
[mm] $${d\over dx}(F(h(x)) [/mm] = [mm] {dF\over dh}(h(x))\cdot{dh\over dx}
[/mm]
= [mm] ({\rm Newton: })\ [/mm] F'(h(x))h'(x).$$
Das verleitet dazu, im Integrand von Integralen die Kettenregel so zu schreiben:
$$F'(s)ds = [mm] {dF\over ds}ds [/mm] = dF, [mm] \hbox{ und }\ d(F\circ [/mm] h)
= [mm] {dF\over dh}{dh\over dt}dt [/mm] = [mm] ({\rm Newton: })\ [/mm] F'(h(t))h'(t)dt.
$$
Offenbar muß jetzt der nächste Schritt sein, dies nicht nur formal hinzuschreiben, als nützliche Gedächtnisstütze, sondern zu erklären, was die Differentiale $dx, dh, dF$ usw. einzeln bedeuten - bisher haben ja nur Quotienten eine Bedeutung. Dazu warte ich Deine Reaktion ab.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:01 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Leduart,
> [mm][/mm]F(x) - F(a) = [mm]F(h(\xi))-F(h(\alpha))[/mm] = [mm]\int_\alpha^\xi (F\circ[/mm]
> h)'(t)dt =
> [mm]\int_\alpha^\xi (f\circ[/mm] h)(t)f'(t)dt.
> [mm][/mm]
Es soll glaub ich h' anstatt f' ganz am Ende heißen?!
Also zum ersten mal hab ich _langsam_ das Gefühl ich weiß was ich man da tut. Deine Herleitung der Substiregel hat schon geholfen, auch wenn es in unserem Skript nochmal anderst steht.
Ich möchte das von dir gesagte nochmal wiederholen und nochmals auf mein Kernproblem kommen:
Wir haben: F'(x) = f(x), [mm] g(\alpha)=a, g(\beta)=b
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)} dx
= F(b) - F(a)
= [mm] F(g(\beta)) [/mm] - [mm] F(g(\alpha))
[/mm]
= [mm] \integral_{\alpha}^{\beta} [/mm] (F(g(t))' dt
= [mm] \integral_{\alpha}^{\beta} [/mm] f(g(t)) * g'(t) dt
Wenn ich jetz das Bsp-Integral [mm] \integral_{-2}^{2}{(2x+1)^7 dx} [/mm] lösen möchte so muss man die Regeln von unten nach oben anwenden.
Dummerweise geht das eigentlich nicht, da das Bsp-Integral nicht die Form der letzten Zeile hat, da g'(t) fehlt.
Bei dem offensichtlichen Integral könnte man die Ableitung 2 einfach hinschreiben und durch [mm] \frac{1}{2} [/mm] wieder korrigieren, aber bei komplexeren Sachen geht der Ansatz wohl nicht besonders gut.
Und hier setzt der du/dx Vodoo-zauber ein, den ich mir nach wie vor nicht erlären kann... :(
Also dx/dy bezeichnet für mich den Differenzenquotienten und dient als Abkürzung. Man könnte es meiner Ansicht nach auch als Ableitungsoperaator verstehen.
Also [mm] \frac{d}{dx} [/mm] f: Bilde die Abletung von f nach x.
Wobei f wie du geschrieben hast ein Funktionname oder die exlizite Funktionsvorschrift sein kann.
Das man mit Differenzialen rechnet habe ich zwar schon öfters gesehen, aber formal eingeführt wurde es bei uns nicht.
Ein einzelnes dx, dy, .. kenne ich nur aus der Intergalrechnung, wo es für mich zwei Funktionen übernimmt:
Zum einen um anzuzeigen wo das Integral aufhört, zum anderen stellt es die Bezeihung zur formalen Definition des Integrals dar.
Grenzwert der summierten Funktionswerte von Treppenfunktionen die gleichmäßig gegen den Integranden konvergieren.
Also:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x) dx = [mm] lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f_i [/mm] * [mm] \Delta [/mm] x, wobei [mm] f_i [/mm] der Funktionwert der Treppenfunktion ist auf dem Intervall i ist.
Und eben jenes [mm] \Delta [/mm] x, ist fürmich das dx das noch im Integral steht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Do 31.05.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
\centerline{Zur Substitutionsregel 2, Differentiale}
\medskip
\noindent
1.) Das beanstandete $f'$ ist wirklich ein $h'$.
\noindent
2.) Die wiederholende Zusammenfassung ist auch in Ordnung, ausser dass es {\bf keine} gute Idee ist, sich $dy/dx$ vom Konzept her als {\bf Differenzen}quotient vorzustellen. $dy/dx$ heisst und ist Differentialquotient, also Quotient von Differentialen. Es ist ein Grenzwert, der durch den Differenzenquotienten $(y(x) - y(x_0))/(x-x_0)$ {\bf approximiert} wird. Der Unterschied ist deswegen wichtig, weil nur für differenzierbare Funktionen Differentialquotienten existieren, Differenzenquotienten aber für beliebige Funktionen.
\noindent
3.) Für den $du/dx$ Voodoo-Zauber ist wichtig, dass man die richtigen
Erwartungen hat. Ehe man den Residuensatz der Funktionentheorie kennen lernt, ist die einzige Methode zum Berechnen von Integralen das Finden von
Stammfunktionen. Die Vorstellung, dass für jede elementare Funktion eine elementare Stammfunktion existiert, ist falsch. Zum Beispiel hat die sehr elementare (nämlich rationale) Funktion $x\mapsto 1/x$ die weniger elementare (nämlich transcendente) Stammfunktion $\log$. --- Die Integrationsregeln {\bf sollen} dabei helfen, Dir bekannte Funktionen als Stammfunktionen zu entdecken, {\bf falls} solche Stammfunktionen existieren. Und dabei leistet die Substitutionsregel keine Wunder: Wenn Du eine Stammfunktion $F$ für $f$ kennst, dann ist $G=F\circ h$ eben Stammfunktion von $g=(f\circ h)\cdot h'$. Schon die Umkehrung ist nicht automatisch: wenn Du $G'=g$ kennst, aber keine Umkehrfunktion von $h$ (z.B. $h(x) = x^5 +3x^3+x$), dann liefert die Kettenregel keine Stammfunktion für $f$. Dies ist noch nicht so ernst, weil Umkehrfunktionen meistens nicht viel komplizierter zu berechnen sind als die Funktionen selber. Das Haupthindernis ist, wenn Du $F'=f$ weisst, dann hilft das überhaupt nichts, eine Stammfunktion für $f\circ h$ zu finden. Deshalb gibt es jede Menge Situationen, in denen die Substitutionsregel nicht weiterhilft. Hauptsache, man erkennt die Situationen, in denen sie nützt.
\noindent
4.) Man kann aus den Schriften von Leibniz und Newton nur ungefähr sehen, was sie sich gedacht haben. Jedenfalls ist die Differential- und Integralrechnung in den ersten 100 Jahren eigentlich nur von Genies richtig benutzt worden. Da wir aber die Bezeichnungen von damals noch verwenden, muss man versuchen, die frühen Gedanken zu verstehen. Ich übersetze das Wort "Funktion" von damals mit "explizit berechenbare Funktion" und glaube, man sollte sich bestimmt nichts komplizierteres als Potenzreihen vorstellen. Mir scheint auch, dass der frühe Funktionsbegriff sehr stark von den Bewegungen von Massenpunkten (Steinen, Kanonenkugeln, Planeten) geprägt wurde. Auf jeden Fall hilft es zum Verständnis der Bezeichnungen von Leibniz, also zum Verständnis der Differentiale, sich vorzustellen, dass die Funktionsgraphen $(x,f(x))$ immer mit irgendeiner Geschwindigkeit durchlaufen werden. (Wir sagen ja noch heute bei Grenzwerten "$x$ geht gegen $a$", obwohl ohne Zweifel die reellen Zahlen still sitzen und nicht gehen.) Wenn wir die Geschwindigkeit, mit der die x-Achse durchlaufen wird, $v_x$ nennen, dann ist es eine gute Anfangsvorstellung sich unter $dx$ die Abbildung vorzustellen, die kleine Zeitintervalle $\Delta t$ in Intervalle auf der x-Achse verwandelt:
$$ dx: \Delta t \mapsto \Delta x := v_x\cdot \Delta t.$$
Als nächstes stellst Du Dir vor, dass ein Punkt auf dem Graphen $\{(x,f(x)):\ x\in{\bf R}\}$ so läuft, dass die Horizontalgeschwindigkeit $v_x$ ist. Die zugehörige Vertikalgeschwindigkeit heisst $v_y$. Dann bedeutet $dy$ die Abbildung, die $\Delta t$ in Intervalle auf der y-Achse verwandelt:
$$ dy: \Delta t \mapsto \Delta y := v_y\cdot \Delta t.$$
Solche Abbildungen kann man nun tatsächlich durcheinander dividieren:
$${dy\over dx}:={v_y\cdot \Delta t \over v_x\cdot \Delta t} = {v_y\over v_x}.$$
Diese Vorstellung ist gut geeignet, das Kürzen der Differentiale in der Kettenregel zu verstehen, wenn man sich dazu bringen kann, Funktionsnamen und Variablennamen nicht zu unterscheiden. Gegeben seien zwei Funktionen $x\mapsto y(x),\ y\mapsto z(y)$ und die Komposition $x\mapsto z(y(x))$. Dann gilt:
$${dz\over dx}= {v_z\over v_x}= {v_z\over v_y}\cdot {v_y\over v_x}= {dz\over dy}\cdot {dy\over dx}.$$
Jetzt ist nur noch ein kleiner Schritt bis zu der modernen Definition: $df|_a$ ist die lineare Abbildung, die den Differenzenquotienten $(f(x)-f(a))/(x-a)$ bis auf sublineare Fehler approximiert:
$$ |x-a| < \delta \Longrightarrow \left| {f(x)-f(a)\over x-a} - df|_a(x-a) \right| \le \epsilon|x-a|.$$
Kontrolle: $df|_a(x-a)=f'(a)*(x-a)$.
Bis dahin hab ich das mit zusätzlicher Hilfe geschrieben, drum der Stilwechsel
Noch einige Schlussbemerkungen:
1. Dein Unbehagen ist begründet: das dx im Integral ist nur ne Erinnerung an das \Delta x, ausserdem ist es sehr nützlich, wenn ne fkt. von 2 Grössen abhängt, etwa von t und x, dann kann man über t oder x integrieren, und entsprechend dt oder dx dahinterschreiben. Es ist aber auch durchaus üblich es einfach wegzulassen.
2. Deine Ausgangsidee, dass man nur Funktionen der Form f(g(x)*g'(x) durch Substitution behandeln kann ist einfach richtig. Natürlich kann man dabei noch ne Zahl "reinmogeln" wenn sie fehlt sieh die Funktion von der du im ersten post ausgingst.
$\bruch{e^t}{1+e^{2t}$
wenn man da direkt erkennt dass es $f(e^t)*(e^t)'$ ist hilft einem ne andere Substitution auch nix.
Das, was du Voodoo Zauber nennst, und wie oben man auch formaler begründen kann ist eigentlich nur ne Art "mechanische" Hilfe beim rumprobieren die gegebene fkt als f(g)*g' zu erkennen. Manchmal hilft es auch mit einem \bruch{h'(x))(h'(x)} zu erweitern,und erst dann erkennt man das "versteckte" f*g'. Deshalb ist die "richtige" Substitution zu finden auch ne Kunst, die man durch Übung verbessern, aber nicht wirklich lehren kann.
Ich hoff du hast jetzt nen besseren Zugang, weil mir dein Nachbohren gefallen hat.
(Viele Profs. mögen übrigens Nachfragen auch, also trau dich ruhig in der Vorlesung, in Pausen oder danach direkt zu fragen. es lohnt sich oft, und wird von studis viel zu wenig genutzt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Obwohl du nun offenbar alles geschluckt und verstanden hast, noch eine einfache Erklärung:
Wenn man bei der Substitution nicht das dx abändern müsste, könnte man bei jedem beliebigen Integral folgendes machen:
Bei [mm] \integral [/mm] {f(x) dx} setzt man grundsätzlich f(x) =t, bildet dann die Stammfunktion, die immer [mm] \bruch{1}{2}t^2 [/mm] heißt, macht dann die Rücksubstitution und erhält als Stammfunktion immer [mm] \bruch{1}{2}(f(x))^2. [/mm]
Klar, dass da was nicht stimmt, wie man sofort an ganz einfachen Funktionen zeigen kann. Deshalb muss das dx immer durch ein dt und einem entsprechenden passenden "Korrekturfaktor" ersetzt werden. Leibniz hat gezeigt, dass man dazu dx/dt wählen muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 31.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Erklärung ist nicht einfach!
1.niemand, auch nicht der fragende mumrel hat im Verlauf der Diskussion jemals gesgt, dass man f(x) einfach durch t ersetzen kann! es ging immer um f(g(x)*g'(x) und die Stammfkt. davon nämlich F(g(x)).
Dass Leibniz das im heutigen strengen Sinn der mathematik gezeigt hat, müsstest du mir erst noch zeigen. Und wenn jemand drüber nachdenkt, warum man mit differentialen "sog. infinitesimalen" Größen einfach so manipulieren kann ist das eine berechtigte frage, die von der Einsicht zeugt, dass man technischr Rechenregeln nicht einfach ohne Überlegung anwenden sollte, auch wenn sie oft (oderimmer) zum Erfolg führen und das ergebnis schließlich richtig ist.
Gruss leduart
|
|
|
|
![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]"){kind=small}
