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Forum "Integralrechnung" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration durch Substitution: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

Aufgabe
Bestimmn sie die folgenden Integrale mittels einer geeigneten Substitution:
a) [mm] \integral x^{2}e^{x^{3}+2} [/mm] dx
b) [mm] \integral \bruch{ln(x+2)}{2x+4} [/mm] dx
c) [mm] \integral \bruch{x^{3}}{(1+x^{2}9^{3}} [/mm] dx
d) [mm] \integral x^{5}\wurzel{4-x^{3}} [/mm] dx

Um diese Uhrzeit, wäre ja fast guten Morgen angebracht! ;)
Ich sag einfach: Hallo zusammen!

ich hätte a) so berechnet:

[mm] \integral x^{2}e^{x^{3}+2} [/mm] dx
[mm] U=x^{3}+2 [/mm]
[mm] du=3x^{2} [/mm] dx

dx= [mm] \bruch{du}{3x^{2}} [/mm]

[mm] \integral x^{2}e^{u}*\bruch{du}{3x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{u}}{3} [/mm] + C = [mm] \bruch{e^{x^{3}+2}}{3}+C [/mm]


bei b) hätte ich folgende Lösung:

[mm] \integral \bruch{ln(x+2)}{2x+4} [/mm] dx
u=ln(x+2)

[mm] du=\bruch{1}{x+2} [/mm] dx

dx=(x+2) du

[mm] \integral \bruch{u}{2(x+2)}*(x+2) [/mm] du = [mm] \bruch{u^{2}}{4} [/mm] + C = [mm] \bruch{(ln(x+2))^{2}}{4} [/mm] + C

Stimmt dies überhaupt????

bei c) und d) bin ich mir nicht sicher!

Lg Aeryn

        
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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:24 Sa 16.06.2007
Autor: leduart

Hallo
Deine Rechnungen sind richtig,
bei d) empfehl ich [mm] u=1+x^2 [/mm] du brauchst dann noch [mm] x^2=u-1 [/mm]
bei e) empfehl ich [mm] 4-x^3=u [/mm] auch hier [mm] x^3=4-u. [/mm]
Gruss leduart

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

gut für c) hätt ich nun:

[mm] \integral \bruch{x^{3}}{(1+x^{2})^{3}} [/mm] dx

[mm] u=1+x^{2} [/mm]

du=2x dx

[mm] dx=\bruch{du}{2x} [/mm]

[mm] \integral \bruch{x^{3}}{u^{3}}*\bruch{du}{2x} [/mm] =


und für d)

[mm] \integral x^{5}\wurzel{4-x^{3}} [/mm] dx

[mm] u=4-x^{3} [/mm]

[mm] du=3x^{2} [/mm] dx

[mm] dx=\bruch{du}{3x^{2}} [/mm]

[mm] \integral x^{5}\wurzel{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{3x^{2}} [/mm] =

Wie gehts weiter? Ich glaub, die Beispiele sind nocht nicht fertig.


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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Sa 16.06.2007
Autor: Regina256

Good morning! ....guck dir den Tipp von Leduart noch mal genauer an, bei c) zum Beispiel kannst das übrigbleibende nach Kürzen [mm] x^2 [/mm] durch u-1 ersetzen und so auf den Integranden 1/2(u^(-1) - u^(-3)) kommen!
Außerdem: wenn du eine Stammfunktion gefunden hast, kannst du ja immer durch Ableiten prüfen, ob sie richtig ist!

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

na gut, dann hab ich:

[mm] x^{2} [/mm] = u-1

[mm] \integral \bruch{x(u-1)}{u^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{du}{2x} [/mm]



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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Sa 16.06.2007
Autor: Regina256

Die verbleibenden x wegkürzen!!!! Dann kommst du auf den Integranden, den ich dir vorher genannt hab!

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

vestehe, du meinst also, dann bleibt nur noch:

[mm] \burch{(u-1)}{u^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2} [/mm]

oder anders ausgedrückt:

[mm] (u-1)*u^{-3} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2} [/mm] -> ausgerechnet: [mm] u^{-2} [/mm] - [mm] u^{-3} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2} [/mm]

und integriert: -1/2 [mm] u^{-1} [/mm] - [mm] u^{-3} [/mm] * [mm] \bruch{dx}{2} [/mm]

wird [mm] u^{-3} [/mm] nicht auch integriert? ich meine zu [mm] -1/2u^{-2} [/mm] und was mach ich dann mit den [mm] \bruch{dx}{2}? [/mm]

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Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Aeryn,

hmmm...

Da haste aber nen Dreher drin.

Es ist doch [mm] $dx=\frac{du}{2x}$ [/mm]

Also [mm] $\int{\frac{x^3}{(1+x^2)^3}dx}=\int{\frac{(u-1)x}{u^3}\frac{\red{du}}{2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{u-1}{u^3}du}=\frac{1}{2}\int{\left(u^{-2}-u^{-3}\right)du}$ [/mm]

Hier nun beide Summanden integrieren....

Bedenke die Regel dafür: [mm] f(z)=z^n\Rightarrow F(z)=\frac{1}{n+1}z^{n+1} [/mm] für alle [mm] n\ne [/mm] -1


LG

schachuzipus

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Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

Integriert wäre das nun:

[mm] \bruch{1}{2} \integral (u^{-2} [/mm] - [mm] u^{-3}) [/mm] du

[mm] \integral u^{-2} [/mm] du = [mm] -\bruch{1}{u} [/mm]
[mm] \integral u^{-3} [/mm] du = [mm] -\bruch{1}{2} u^{-2} [/mm]

= [mm] -\bruch{1}{u} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2u} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

> Integriert wäre das nun:
>  
> [mm]\bruch{1}{2} \integral (u^{-2}[/mm] - [mm]u^{-3})[/mm] du
>  
> [mm]\integral u^{-2}[/mm] du = [mm]-\bruch{1}{u}[/mm]
>  [mm]\integral u^{-3}[/mm] du = [mm]-\bruch{1}{2} u^{-2}[/mm]
>  
> = [mm]-\bruch{1}{u}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2u\red{^2}}[/mm]  

Jo, das ganze noch [mm] \cdot{}\frac{1}{2} [/mm] und dann resubstituieren

LG

schachuzipus

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

Kann es sein, dass als Ergebnis nun das raus kommt?

[mm] -\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(1+x^{2})} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{2x^{2}+3} [/mm]

Bezug
                                                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Nein,

siehe oben, da muss im zweiten Nenner ein [mm] u^2 [/mm] stehen und das Ganze mal [mm] \frac{1}{2} [/mm]

Die richtige Stammfunktion ist [mm] -\frac{1}{2u}+\frac{1}{4u^2}=-\frac{1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-2(1+x^2)+1}{4(1+x^2)^2} [/mm]
[mm] =-\frac{2x^2+1}{4(1+x^2)^2} [/mm]

LG

schachuzipus



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Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

stimmt, ja das 1/2 komplett vergessen.

aber ich hätte gesagt:

[mm] =-\frac{2x^2+ 3}{4(1+x^2)^2} [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Nee,

ziehe mal zur Sicherheit das Minuszeichen direkt in den Zähler:

[mm] -\frac{1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-1}{2(1+x^2)}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-1(2(1+x^2)}{4(1+x^2)^2}+\frac{1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-2-2x^2+1}{4(1+x^2)^2}=\frac{-2x^2-1}{4(1+x^2)^2}=-\frac{2x^2+1}{4(1+x^2)^2} [/mm]


LG

schachuzipus

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Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

Ja ok, stimmt.

ich hätt da noch ne frage zu a)

also:

[mm] \integral x^{2}e^{x^{3}+2} [/mm] dx

wie komme ich von

[mm] \integral x^{2}e^{u}*\bruch{du}{3x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{u}}{3} [/mm] + C

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Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hi,

$\int{x^2e^{u}\frac{du}{3x^2}=\int{e^{u}\frac{du}{3}} \left| x^2$ gekürzt

$=\int{\frac{e^{u}}{3}du}=\frac{1}{3}\int{e^{u}du} \left| $ multiplikative Konstanten kann man vors Integral ziehen

$=\frac{1}{3}e^{u}=\frac{1}{3}e^{x^3+2}\mid$ Rücksubstit.

LG

schachuzipus

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Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

Dankeschön für die Erklärung!!!!

bei aufgabe d) bin ich nun soweit:

[mm] u=4-x^{3} [/mm]

[mm] du=-3x^{2} [/mm] dx

[mm] dx=\bruch{du}{-3x^{2}} [/mm]

[mm] x^{3}=4-u [/mm]

[mm] \integral x^{2}(4-u) \wurzel{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{-3x^{2}} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{3} \integral x^{2}(4-u)\wurzel{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{x^{2}} [/mm]
[mm] -\bruch{1}{3} \integral (4-u)\wurzel{u} [/mm] du

Wie integriere ich das nun?
Kann ich das einfach so machen?

[mm] (4u-u^{2})\bruch{3}{2}u^{\bruch{3}{2}} [/mm]

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Dankeschön für die Erklärung!!!!
>  
> bei aufgabe d) bin ich nun soweit:
>  
> [mm]u=4-x^{3}[/mm]
>  
> [mm]du=-3x^{2}[/mm] dx
>  
> [mm]dx=\bruch{du}{-3x^{2}}[/mm]
>  
> [mm]x^{3}=4-u[/mm]
>  
> [mm]\integral x^{2}(4-u) \wurzel{u}[/mm] * [mm]\bruch{du}{-3x^{2}}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{3} \integral x^{2}(4-u)\wurzel{u}[/mm] *
> [mm]\bruch{du}{x^{2}}[/mm]
>  [mm]-\bruch{1}{3} \integral (4-u)\wurzel{u}[/mm] du [daumenhoch]

Bis hierhin ist alles top!!

>  
> Wie integriere ich das nun?
>  Kann ich das einfach so machen?
>  
> [mm](4u-u^{2})\bruch{3}{2}u^{\bruch{3}{2}}[/mm]  [notok]

Das geht so nicht, multipliziere zunächst mal aus:

[mm] -\frac{1}{3}\int{(4-u)u^{\frac{1}{2}}du}=-\frac{1}{3}\int{\left(4u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{3}{2}}\right)du}=-\frac{4}{3}\int{u^{\frac{1}{2}}du}+\frac{1}{3}\int{u^{\frac{3}{2}}du} [/mm]


Und das wieder mit der Potenzregel, die irgendwo in einem der oberen posts steht, integrieren

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

ah, ok.

somit hab ich dann:

[mm] -\bruch{8}{9}(4-x^{3})^{1,5} [/mm] + [mm] \bruch{2}{15}(4-x^{3})^{2,5} [/mm]

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

> ah, ok.
>  
> somit hab ich dann:
>  
> [mm]-\bruch{8}{9}(4-x^{3})^{1,5}[/mm] + [mm]\bruch{2}{15}(4-x^{3})^{2,5}[/mm]  [applaus]

Alles ok !!

LG

schachuzipus  


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Bezug
Integration durch Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Sa 16.06.2007
Autor: Aeryn

Danke für den applaus.

jetzt hätt ich noch ne blöde frage:

wie rechne ich das aus? bzw. vereinfache es?

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Sa 16.06.2007
Autor: schachuzipus

Hallo,

wenn du Grenzen hast, kannst du die hier einfach einsetzen, wenn du unbedingt willst, kannst du noch etwas umformen:

Klammere [mm] \frac{2}{3}(4-x^3)^{\frac{3}{2}} [/mm] aus:

[mm] -\frac{8}{9}(4-x^3)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{15}(4-x^3)^{\frac{5}{2}}=\frac{2}{3}(4-x^3)^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\frac{1}{5}(4-x^3)-\frac{4}{3}\right) [/mm]

Das kannste wieder als Wurzeausdruck schreiben:

[mm] =\frac{2}{3}\sqrt{(4-x^3)^3}\cdot{}\left(\frac{1}{5}(4-x^3)-\frac{4}{3}\right) [/mm]

LG

schachuzipus

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