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| Aufgabe | Berechnen sie das unbestimmte Integral. Wenden sie die Variante der Substitutionsmethode an, bei der die Integrationsvariable x selbst durch einen geeigneten Termn substituiert wird.
1. [mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^4}} dx}
[/mm]
Substituieren Sie x so durch einen trigonometrischen Term, das die Wurzel wegfällt.
2. [mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x}} dx}
[/mm]
Substituieren Sie x so durch einen quadratischen Term, dass die Wurzel wegfällt. |
Hallo Leute!
Ich habe wieder eine meines Erachtens schwierige Aufgabe zu lösen.
Ich weiß aber wirklich keinen Weg wie ich die Aufgabe lösen soll :/ Du Substitutionsmethode habe ich eigentlich an sich gut verstanden. Nun sind wir jedoch an dem Unterpunkt "Substitution der Integrationsvariablen" angelangt und ich verstehe absolut nur Bahnhof.
Auch nach mehreren durchlesen bin ich nicht weiter gekommen.
Ich wäre sehr froh wenn jemand mit mir die Aufgaben schrittweise durchgehen würde,sodass ich nicht nur die Lösung der Aufgabe selbst verstehe, sondern auch einen besseren Einblick in das Thema bekomme.
Vielen Dank :D
Eisquatsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch!
Substituiere hier $x \ := \ [mm] 1-z^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar !
So hier mein Zwischenstand zum Verständnis bei dieser Aufgabe :
Bei der 2.Aufgabe bin ich wenigstens bis zur Rücksubstitution gekommen - obs stimmt ist was anderes :D
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x}} dx}
[/mm]
(1) [mm] x=1-z^2
[/mm]
(2) x'= [mm] \bruch{dx}{dz}= [/mm] 2*z*dz
(3) Einsetzen von (1) und (2):
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x}} dx}= [/mm]
[mm] \integral{\bruch{1-z^2}{\wurzel{1-(1-z^2)}} * 2*z*dz}=
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1-z^2}{\wurzel{z^2}} * 2*z*dz}=
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1-z^2}{z} * 2*z*dz}=
[/mm]
Erklärung : hier habe ich aus [mm] 2*z*dz=2z^2 [/mm] gemacht. Ich weiß ehrlich gesagt nicht ob man das so darf ...
[mm] \integral{(1-z)* 2*z^2}=
[/mm]
[mm] \integral{2z^2-2z^3}=
[/mm]
so hier wird integriert
[mm] =-\bruch{1}{2}*z^4+\bruch{2}{3}*z^3
[/mm]
(4) Resubstitution
z= [mm] \wurzel{1-x^2}
[/mm]
Bei der Resubstitution bin ich mir richtig unsicher ...
Ok stimmt das, was ich gemacht habe? Ich hoffe du kannst meinen Rechenweg nachvollziehen, wenn nicht, sag Bescheid.
Und eine andere Frage noch : Wie bist du überhaupt darauf gekommen [mm] x=1-z^2 [/mm] zu substituieren ? Ich wäre da niemals drauf gekommen, wie hast du das geschafft oder bzw. wie war dein Gedankengang? Vielleicht würde ich das Thema dann besser verstehen.
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gut , ich konnte es bis zu dem Punkt nachvollziehen
[mm] =-2\cdot{}\int{1-z^2\, dz}
[/mm]
also weiter gehts :D
[mm] =-2\cdot(\bruch{1}{3}*z^3-z)*dz
[/mm]
= [mm] (-\bruch{2}{3}*z^3+2z)*dz
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{3}*z^4+2z^2
[/mm]
(4) Rücksubstituieren
x= [mm] 1-z^2 [/mm]
[mm] z=\wurzel{1-x}
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{3}*(\wurzel{1-x})^4+2*(\wurzel{1-x})^2
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{3}*(1+x)²+2*(1-x)
[/mm]
soo und den Rest schaff ich auch noch so ...
also stimmt es bis dahinn ?
und wieder : Wie kommt man überhaupt auf die Substitution selbst?
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Hallo nochmal,
> gut , ich konnte es bis zu dem Punkt nachvollziehen
>
> [mm]=-2\cdot{}\int{1-z^2\, dz}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> also weiter gehts :D
>
>
> =-2\cdot(\bruch{1}{3}*z^3-z)*dz ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
fast, was ist mit den Vorzeichen??
Wir hatten ja $-2\int{1-z^2\, dz}=-2\int{-(z^2-1)\, dz}=2\int{(z^2-1)\, dz$
Mache also aus der -2 eine +2...
>
> = [mm](-\bruch{2}{3}*z^3+2z)*dz[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{2}{3}*z^4+2z^2[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Das [mm] $(\blue{dz})$ [/mm] ist das Differential, das darfst du nicht mit der Klammer verarbeiten, da steht nicht [mm] $d\cdot{}z$ [/mm] oder sowas...
Die Stammfunktion mit richtigen VZ ist [mm] $\frac{2}{3}z^3-2z$
[/mm]
Hier nun resubst.
> und wieder : Wie kommt man überhaupt auf die Substitution
> selbst?
Man kann sich überlegen, dass man mit der Substitution [mm] $x=1-z^2$ [/mm] bzw. [mm] $z^2=1-x$ [/mm] die Wurzel im Nenner weghauen kann...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 25.09.2007 | | Autor: | Eisquatsch |
aaaaah oooh bin ich blöd, kein wunder das ich da dauernd fehler reinbringe!
Jetzt verstehe ich es schon viel besser!
Dankescheeen :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch!
Und hier sollte es klappen mit [mm] $x^2 [/mm] \ := \ [mm] \sin(u)$ $\Rightarrow$ [/mm] $x \ = \ [mm] \wurzel{\sin(u)}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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So und jetzt zur ersten Aufgabe ...bei der ich nicht so weit wie bei der zweiten Aufgabe gekommen bin
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^4}} dx} [/mm]
(1) Substitution [mm] x=\wurzel{sin(z)}
[/mm]
(2) x'= [mm] \bruch{dx}{dz}= \bruch{1}{\wurzel{sin(z)}}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{\wurzel{sin(z)}} [/mm] * dz
(3) Einsetzen von (1) und (2):
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^4}} dx} [/mm] =
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{sin(z)}}{\wurzel{1-(\wurzel{sin(z)})^4}}*\bruch{1}{\wurzel{sin(z)}} * dz}
[/mm]
Ok soweit habe ich mir das gedacht ... bin aber überhaupt nicht weitergekommen,weil ich die Rechnung garnicht nachvollziehen kann. Wieder das gleiche Problem : Wie bist du überhaupt darauf gekommen, was man substituiert ?
Und wenn mein Rechenweg bis hierhin stimmt, wie muss ich weitermachen?
Vielen vielen dank schonmal für deine Hilfe, mir kommt es schon teilweise vor als würde ich das Thema besser verstehen.
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Hallo Eisquatsch,
> So und jetzt zur ersten Aufgabe ...bei der ich nicht so
> weit wie bei der zweiten Aufgabe gekommen bin
>
> [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^4}} dx}[/mm]
>
> (1) Substitution [mm]x=\wurzel{sin(z)}[/mm]
>
> (2) x'= [mm]\bruch{dx}{dz}= \bruch{1}{\wurzel{sin(z)}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Autsch, du hast die innere Abkleitung unterschlagen!!
[mm] $\left[\sqrt{\sin(z)}\right]'=\frac{dx}{dz}=\frac{\cos(z)}{2\cdot{}\sqrt{\sin(z)}}\Rightarrow dx=\frac{\cos(z)}{2\sqrt{\sin(z)}}$
[/mm]
Wenn du das mal einsetzt und noch bedenkst, dass gilt [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$, [/mm] also [mm] $1-\sin^2(z)=...$, [/mm] dann kommst du auf ein sehr leichtes Integral, es kürzt sich fast alles weg 
Gruß
schachuzipus
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Hallo Carlchen,
das geht natürlich auch, es kommt dieselbe Stammfunktion raus.
Aber unter der Vorgabe in der Aufgabenstellung...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 25.09.2007 | | Autor: | Carlchen |
Ohje, ich sollte meine Augen besser aufmachen.
Sry nochmals. :)
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gut, dann setz ich mal am zweiten Schritt an :D
(2) [mm] x=\wurzel{sin(z)}
[/mm]
[mm] x'=[\sqrt{\sin(z)}]'=\frac{dx}{dz}=\frac{\cos(z)}{2\cdot{}\sqrt{\sin(z)}}\Rightarrow dx=\frac{\cos(z)}{2\sqrt{\sin(z)}}*dz
[/mm]
(3) Einsetzen von (1) und (2):
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^4}} dx} [/mm] =
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{sin(z)}}{\wurzel{1-(\wurzel{sin(z)})^4}}*\frac{\cos(z)}{2\sqrt{\sin(z)}}*dz}=
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{\cos(z)}{\wurzel{1-sin^2(z)}*sin(z)}*dz} [/mm] =
[mm] \integral{\bruch{\cos(z)}{\wurzel{1-sin^2(z)}}*dz}
[/mm]
so ...hier kommt der trigonometrische Pythagoras zum Einsatz: [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
[mm] \integral [/mm] dz=
[mm] 0,5z^2
[/mm]
(4) Rücksubstitution
[mm] x=\sqrt{\sin(z)}
[/mm]
nach zu umformen (so wie ich das verstanden hab muss man das an dieser Stelle tun)
[mm] z=arcsin(x^2)
[/mm]
[mm] 0,5*arcsin(x^2)^2 [/mm]
an dieser Stelle wüsste ich nicht weiter ....
Gut ich hoffe meine Rechnung stimmt bis hier hin UND noch ganz wichtig, wie kommt man denn überhaupt darauf was man substituiert
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> Holà,
>
> > gut, dann setz ich mal am zweiten Schritt an :D
> >
> > (2) [mm]x=\wurzel{sin(z)}[/mm]
> >
> >
> [mm]x'=[\sqrt{\sin(z)}]'=\frac{dx}{dz}=\frac{\cos(z)}{2\cdot{}\sqrt{\sin(z)}}\Rightarrow dx=\frac{\cos(z)}{2\sqrt{\sin(z)}}*dz[/mm]
>
> >
> > (3) Einsetzen von (1) und (2):
> >
> > [mm]\integral{\bruch{x}{\wurzel{1-x^4}} dx}[/mm] =
> >
> >
> [mm]\integral{\bruch{\wurzel{sin(z)}}{\wurzel{1-(\wurzel{sin(z)})^4}}*\frac{\cos(z)}{\red{2}\sqrt{\sin(z)}}*dz} =[/mm]
>
> >
>
> > [mm]\integral{\bruch{\cos(z)}{\wurzel{1-sin^2(z)}*sin(z)}*dz}[/mm]
>
>
> Wie kommt das [mm]\cdot{}\sin(z)[/mm] da in den Nenner?
>
> >
Da habe ich noch eine Frage zu. Ich dachte mir folgendes :
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{sin(z)}*\cos(z)}{\wurzel{1-(\wurzel{sin(z)})^4}*2\sqrt{\sin(z)}}\cdot{}dz} [/mm] =
So und jetzt kann gekürzt werden. [mm] \wurzel{sin(z)} [/mm] aus dem Nenner kürzt sich, aus [mm] 2*\wurzel{sin(z)} [/mm] wird [mm] \wurzel{sin(z)}
[/mm]
Warum geht das so nicht ??
> Hmm, da kann man vllt. drauf kommen, wenn man sich an die
> Ableitung des
> [mm]\arcsin[/mm] erinnert
>
> [mm]\left[\arcsin(u)\right]'=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}[/mm]
puuh... ich muss mir mal die ganzen Ableitungen/Integrationen aufschreiben ... ich hätte das niemals in der Formelsammlung gefunden :o
// So jetzt in korrigierter Form :D
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Hi,
ich lass mal das drumherum weg und schreibe nur den Term, auf den sich
deine Frage konkret bezieht:
[mm] $\frac{\sqrt{\sin(z)}}{2\sqrt{\sin(z)}}=\frac{\red{\sqrt{\sin(z)}}}{2\cdot{}\red{\sqrt{\sin(z)}}}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Du kürzt doch [mm] \emph{\text{gleiche Faktoren}} [/mm] gegeneinander raus...
Da steht ja nicht im Nenner [mm] $\left(\sqrt{\sin(z)}\right)^2$
[/mm]
Ich sehe nicht, wie du durch Kürzen auf [mm] $\frac{1}{\sqrt{\sin(z)}}$ [/mm] kommen willst?
Du darfst die [mm] $\sqrt{\sin(z)}$ [/mm] nicht gegen $2$ kürzen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Di 25.09.2007 | | Autor: | Eisquatsch |
oooooh na klar i see
eiei bei mir blinken gerade viele Lichtchen wieder auf
Also, vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Ich schau mir das jetzt nochmal alles an, aber ich denke kleine Problemchen schaff ich dann noch alleine, wenn nicht, weiß ich ja wo ich mich melden kann :D
Gute Nacht und nochmals vielen Dank, hast mir viel Stress erspart (den ich gerade wirklich nicht gebrauchen kann)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Di 25.09.2007 | | Autor: | Blech |
> > Hmm, da kann man vllt. drauf kommen, wenn man sich an die
> > Ableitung des
> > [mm]\arcsin[/mm] erinnert
> >
> > [mm]\left[\arcsin(u)\right]'=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}[/mm]
[mm]sin^2x + cos^2x = 1[/mm] (das solltest Du kennen)
[mm]\Rightarrow cos^2x = 1-sin^2x[/mm]
[mm]\Rightarrow cos x = \sqrt{1-sin^2x}[/mm] (Das hilft auch oft, wenn wie hier irgendwo [mm]\sqrt{1-x^2}[/mm] steht; aber aufpassen, daß unter der Wurzel nichts Negatives steht)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
