Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne durch Integration durch Substitution
[mm] \integral_{0,5 \pi}^{1,5 \pi}{\sin(x) * \cos(x) dx} [/mm] |
Bisher habe ich dieses Verfahren nur an verketteten Funktionen angewandt, wobei dies eigentlich nichts anderes sein sollte.
Nur leider weiß ich nicht, welchen Term ich substituieren soll.
Ich würde mir nun sin(x) nehmen, und dies unsinniger Weise mit t(x)=sin(x) substituieren.
Mit folgendem Versuche komme ich nicht wieter. Bin ziemlich verwirrt :-|
[mm] \integral_{0,5 \pi}^{1,5 \pi}{\sin(x) * \cos(x) dx}
[/mm]
t(x) = [mm] \sin(x)
[/mm]
t'(x) = [mm] \cos(x)
[/mm]
[mm] \integral_{t(0,5 \pi)}^{t(1,5 \pi)}{\cos(\cos(x)) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{\cos(\cos(x)) dx}
[/mm]
Denke hier und schon die Zeile ist es falsch.
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x)) * f'(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{g(b)}^{g(a)}{f(z) dz}
[/mm]
Ohne f(z) richtig zu bestimmen bringt mir mein Ansatz nicht. Folglich muss ich wissen, für was ich z substituiere und was dann f(z) übrig bleibt. Hier habe ich ja ein Produkt und nicht eine ineinander verkettete Funktion.
Verwirrung pur! Hilfe =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Soinapret!
Bei dieser Funktion hier ist es ziemlich egal, welche der beiden Teilfunktionen man substituiert. Aber Deine Wahl war schon sehr gut:
$$\red{t \ := \ \sin(x)}$$
$$\Rightarrow \ \ \ t' \ = \ \bruch{dt}{dx} \ = \ \cos(x) \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \ \blue{dx \ = \ \bruch{dt}{\cos(x)}}$$
Und das setzen wir nun mal in das Integral ein:
$$\integral{\red{\sin(x)}*\cos(x)} \ \blue{dx}} \ = \ \integral{\red{t}*\cos(x)} \ \blue{\bruch{dt}{\cos(x)}}} \ = \ ...$$
Nun innerhalb des Integral's kürzen und dann integrieren ...
Gruß
Loddar
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Danke erstmal.
Wenn ich im Integral kurzen und die Stammfunktion bilden, muss ich ja noch die Integrationsgrenzen t(a) und t(b) bilden.
[mm] t(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 1
[mm] t(\bruch{3 \pi}{2} [/mm] = - 1
Hier wäre mein t(b) < t(a), spielt dies generell eine Rolle? Als Integralwert erhalte ich 0, was ich auch über meine Produktintegration erhalte.
> [mm]\integral{\red{\sin(x)}*\cos(x)} \ \blue{dx}} \ = \ \integral{\red{t}*\cos(x)} \ \blue{\bruch{dt}{\cos(x)}}} \ [/mm]
= [mm] \integral_{1}^{-1}{t dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} t^{2} [/mm] in den grenzen 1 und -1
= 1 - 1
= 0
Leider habe ich deine Umformung mit dx und dt nicht verstanden.
Das von dir gebildete Integral würde ich versuchen in solch einem Term darzustellen
t * Anderer Faktor * t' (jedoch in einer mir unbekannten Schreibweise)
Bin nu noch mehr verwirrt. Hänge jetzt schon 2 Stunden dran, das ist frustrierend :-|
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 07.02.2008 | | Autor: | Soinapret |
Ui ich danke dir vielmals;)
Folglich konnte ich nun auch
[mm] \integral_{1}^{2e}{ln (x) dx}
[/mm]
integrieren:
t := ln (x)
t' := [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{dt}{dx}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{x * dt}{1}
[/mm]
t(1) = 0
t(2e) = 1,693...
[mm] \integral_{1}^{2e}{ln (x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1,693}{\bruch{1}{x} * t * dt * x}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1,693}{t dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] t^{2} [/mm] in den grenzen von 0 bis 1,693
= 1,433
=))))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Soinapret!
Wie lautet denn Deine zu integrierende Funktion? [mm] $\bruch{1}{x}*\ln(x)$ [/mm] ?
Dann ist Dein Weg richtig!
Denn die das Integral [mm] $\integral{\ln(x) \ dx}$ [/mm] lässt sich nicht mit Substitution sondern mittels partieller Integration lösen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Do 07.02.2008 | | Autor: | Soinapret |
Ja, die zu integrierende Funktion lautete f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * ln(x)
Hab ich beim abtippen scheinbar vergessen.
Ich danke dir auf jeden Fall für deine Hilfe. ;)
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