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Hallo, habe hier paar Integralaufgaben, wo ich das integrieren nicht so verstehe
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sin(x)}{1+sin^2(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sin(x)}{2-cos^2(x)} dx}
[/mm]
Die Substitution t=cos(x) und -sin(x)dx=dt liefert:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sin(x)}{2-cos^2(x)} dx}= [/mm] - [mm] \integral_{1}^{0}{\bruch{1}{2-t^2} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{2}-t)(\wurzel{2}+t)} dt} [/mm]
Bis hier her versteh ich es noch, aber den jetztigen schritt nicht mehr.
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{2}-t)(\wurzel{2}+t)} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{2}}(\integral_{0}^{1}\bruch{dt}{(\wurzel{2}-t)} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{\wurzel{2}+t}}) [/mm]
also den letzten schritt versteh ich nicht so. danach folgt:
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{2}}(\integral_{0}^{1}\bruch{dt}{(\wurzel{2}-t)} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dt}{\wurzel{2}+t}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{2}} [log(\wurzel{2} [/mm] +t) (jetzt die Grenzen 1 bis 0) - (wo kommt hier das minus her?) [mm] log(\wurzel{2} [/mm] - t) (wieder die Grenzen) ] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{2}} [log(\wurzel{2} [/mm] +1) - [mm] log(\wurzel{2} [/mm] - 1)].
so dann versteh ich auch nicht, wie die das ganze zu diesem ergebnis vereinfachen: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}log(1+\wurzel{2})
[/mm]
kann man sowas [mm] log(\wurzel{2} [/mm] +1) - [mm] log(\wurzel{2} [/mm] - 1) zusammenfassen?
danke im Voraus für eure Hilfe.
Gruß
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Auch wenn das Ergebnis richtig ist, haben sich immer mal zwischendurch ein paar Ungenauigkeiten eingeschlichen, deswegen würde ich nochmal den ganzen Rechenweg aufzeigen:
[mm]\integral_{0}^{\pi/2}{\bruch{\sin(x)}{1+\sin^{2}(x)} dx}[/mm]
Als erstes wird das Gesetz
[mm]\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1 \gdw \sin^{2}(x) = 1 - \cos^{2}(x)[/mm]
angewandt. (Warum: Vermutlich, damit später im Nenner eine Differenz steht und dieser somit Nullstellen hat.)
Es ist nun also:
[mm]\integral_{0}^{\pi/2}{\bruch{\sin(x)}{1+\sin^{2}(x)} dx} = \integral_{0}^{\pi/2}{\bruch{\sin(x)}{2-\cos^{2}(x)} dx}[/mm]
Nun wird [mm]t = \cos(x)[/mm] substituiert, steht ja bei dir schon alles:
Es ergibt sich also das Integral
[mm] -\integral_{1}^{0}{\bruch{1}{2-t^{2}} dt}.
[/mm]
Was nun gemacht wird, ist Partialbruchzerlegung. Wir "zerlegen" also zunächst den Nenner des zu integrierenden Bruches in Linearfaktoren mit Hilfe der Nullstellen. Wir wissen, dass der Nenner garantiert die Nullstellen [mm] t_{0_{1}}=\wurzel{2} [/mm] und [mm] t_{0_{2}}=-\wurzel{2} [/mm] hat. Es ist also
[mm] -\integral_{1}^{0}{\bruch{1}{2-t^{2}} dt} [/mm] = [mm] -\integral_{1}^{0}{\bruch{1}{(\wurzel{2} - t)*(\wurzel{2} + t)} dt}
[/mm]
Und nun will man diese beiden Linearfaktoren als Extra-Nenner haben, d.h. man möchte den Bruch
[mm] \bruch{1}{(\wurzel{2} - t)*(\wurzel{2} + t)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(\wurzel{2} - t)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(\wurzel{2} + t)}
[/mm]
so "zerlegen" (Man macht das, weil man dann die Teilbrüche leicht integrieren kann). Dies ist immer möglich, doch man kennt die Zähler noch nicht genau und beziffert sie A und B. Mit Hilfe des Koeffizientenvergleichs kann man diese jedoch bestimmen. Man rechnet:
[mm] \bruch{1}{(\wurzel{2} - t)*(\wurzel{2} + t)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(\wurzel{2} - t)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(\wurzel{2} + t)}
[/mm]
Mal [mm] (\wurzel{2} [/mm] - [mm] t)*(\wurzel{2} [/mm] + t) ergibt:
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] A*(\wurzel{2} [/mm] + t) + [mm] B*(\wurzel{2} [/mm] - t)
[mm] \gdw [/mm] 1 = t*(A-B) + [mm] 1*(\wurzel{2}*A [/mm] + [mm] \wurzel{2}*B)
[/mm]
Nun führen wir Koeffizientenvergleich durch und sehen: A-B muss 0 sein, weil auch links kein t steht. Der andere Term [mm] (\wurzel{2}*A [/mm] + [mm] \wurzel{2}*B) [/mm] muss dagegen 1 ergeben, weil links auch eine 1 steht:
I. A-B = 0 [mm] \gdw [/mm] A = B
II. [mm] (\wurzel{2}*A [/mm] + [mm] \wurzel{2}*B) [/mm] = 1
So erhält man leicht aus I in II:
[mm] 2*\wurzel{2}*A [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] A = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}
[/mm]
Und mit I folgt auch
B = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}.
[/mm]
Wir wissen jetzt also dass
[mm] \bruch{1}{(\wurzel{2} - t)*(\wurzel{2} + t)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{2}}}{(\wurzel{2} - t)} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{2}}}{(\wurzel{2} + t)}
[/mm]
und können das Integral folgendermaßen umschreiben:
[mm] -\integral_{1}^{0}{\bruch{1}{(\wurzel{2} - t)*(\wurzel{2} + t)} dt} [/mm] = [mm] -\integral_{1}^{0}{\bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{2}}}{(\wurzel{2} - t)} + \bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{2}}}{(\wurzel{2} + t)} dt} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2*\wurzel{2}}\integral_{1}^{0}{\bruch{1}{(\wurzel{2} - t)} + \bruch{1}{(\wurzel{2} + t)} dt}
[/mm]
Jetzt wird integriert 
Beachte: wird [mm] \bruch{1}{(\wurzel{2} - t)} [/mm] integriert, entsteht nicht [mm] \ln(\wurzel{2} [/mm] - t), sondern (-1) [mm] *\ln(\wurzel{2} [/mm] - t).
(Weil in der Klammer nicht nur x, sondern ...-x steht! Theoretisch müsste man nochmal substituieren, aber das ist nicht wirklich nötig.)
Es ist also:
[mm] \bruch{-1}{2*\wurzel{2}}\integral_{1}^{0}{\bruch{1}{(\wurzel{2} - t)} + \bruch{1}{(\wurzel{2} + t)} dt} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2*\wurzel{2}}*\left(-\ln\left(\wurzel{2} - t\right) + \ln\left(\wurzel{2} + t\right)\right)_{1}^{0}
[/mm]
Wir schieben die Minusse mal nach vorn
= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(\ln\left(\wurzel{2} - t\right) - \ln\left(\wurzel{2} + t\right)\right)_{1}^{0}
[/mm]
Nun auswerten!
Also:
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(\ln\left(\wurzel{2} - t\right) - \ln\left(\wurzel{2} + t\right)\right)_{1}^{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(\underbrace{\ln\left(\wurzel{2} - 0\right) - \ln\left(\wurzel{2} + 0\right)}_{0} - \left(\ln\left(\wurzel{2} - 1\right) - \ln\left(\wurzel{2} + 1\right)\right)\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(-\ln\left(\wurzel{2} - 1\right) + \ln\left(\wurzel{2} + 1\right)\right)
[/mm]
Und wenn man die Logarithmusgesetze
[mm] \ln(a) [/mm] + [mm] \ln(b) [/mm] = [mm] \ln(a*b) [/mm] und [mm] \ln(a) [/mm] - [mm] \ln(b) [/mm] = [mm] \ln\left(\bruch{a}{b}\right)
[/mm]
kennt, kann man schon erkennen, dass die zweiten beiden Logarithmen sich umformen lassen in:
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(-\ln\left(\wurzel{2} - 1\right) + \ln\left(\wurzel{2} + 1\right)\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(\ln\left(\bruch{\wurzel{2} + 1}{\wurzel{2}-1}\right)\right)
[/mm]
Und nun versucht man's mit den Binomischen Formeln:
Wir erweitern den Bruch im Logarithmus mit
[mm] \bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}+1}.
[/mm]
Warum? Damit der Nenner rational wird und oben etwas hoch 2 steht, denn
[mm] \bruch{\wurzel{2} + 1}{\wurzel{2}-1}*\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{2} + 1)^{2}}{(\wurzel{2}-1)(\wurzel{2} + 1)}
[/mm]
es ergibt sich
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\left(\ln\left(\bruch{(\wurzel{2} + 1)^{2}}{1}\right)\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\ln\left((\wurzel{2} + 1)^{2}\right)
[/mm]
Nun gibt es noch das Logarithmusgesetz
[mm] c*\ln(a) [/mm] = [mm] \ln(a^{c})
[/mm]
womit wir die Zweierpotenz entfernen
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*\ln\left((\wurzel{2} + 1)^{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*2*\ln\left(\wurzel{2} + 1\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\ln\left(\wurzel{2} + 1\right).
[/mm]
Fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Di 18.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi. vielen dank, für die krass gute erklärung. ich glaube besser kann man das nicht machen. respekt.
danke und gruß
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