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Forum "Integralrechnung" - Integration durch Substitution
Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration durch Substitution: stimmt das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Mi 26.03.2008
Autor: RudiBe

Aufgabe
Berechnen Sie mit Integration durch Substitution  

[mm] \integral_{}^{}{sin^3(x)*cos(x) dx} [/mm]

hierzu finde ich einen Lösungsweg, den ich nicht begreife:

sin(x) = z

dx= [mm] \bruch{dz}{cos(x)} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{(z^3) dz} [/mm] = [mm] \bruch{z^4}{4}+c [/mm] = [mm] \bruch{sin^4(x)}{4}+c [/mm]

hier gibt es keine Ableitung von z und cos(x) löst sich einfach auf. Wie kann ich das verstehen?



PS: diese Frege wurde in keinem anderen Forum gestellt

        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Mi 26.03.2008
Autor: abakus


> Berechnen Sie mit Integration durch Substitution  
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^3(x)*cos(x) dx}[/mm]
>  hierzu finde ich einen
> Lösungsweg, den ich nicht begreife:
>  
> sin(x) = z
>  
> dx= [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm]

Hallo RudiBe,
Wenn wir sin(x) durch z ersetzen, kann auch dx durch  [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm] ersetzt werden.
Nehmen wir mal das Original:
[mm]\integral_{}^{}{sin^3(x)*cos(x) dx}[/mm]
und ersetzen [mm] sin^3(x) [/mm] durch [mm] z^3: [/mm]
[mm] ...=\integral_{}^{}{z^3*cos(x) dx} [/mm]
und ersetzen dx durch  [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm]
[mm] ...=\integral_{}^{}\bruch{z^3*cos(x)*dz}{cos(x)} [/mm]

und jetzt kürzen wir noch cos(x) !

Das bleibt übrig:  

> [mm]\integral_{}^{}{(z^3) dz}[/mm] = [mm]\bruch{z^4}{4}+c[/mm] =

Und jetzt machen wir die Substitution wieder rückgängig. Es war doch z= sin(x).


> [mm]\bruch{sin^4(x)}{4}+c[/mm]


Viele Grüße
Abakus

>  
> hier gibt es keine Ableitung von z und cos(x) löst sich
> einfach auf. Wie kann ich das verstehen?
>  
>
>
> PS: diese Frege wurde in keinem anderen Forum gestellt


Bezug
                
Bezug
Integration durch Substitution: Danke aber eines noch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mi 26.03.2008
Autor: RudiBe

Mir ist noch nicht klar woher ich einfach dx mit [mm] \bruch{dz}{cos(x)} [/mm] gleich setzten soll,
auf diese Art und Weise könnte ich ja jeden zweiten Term einer solchen Funktion einfach verschwinden lassen.

Bezug
                        
Bezug
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mi 26.03.2008
Autor: Andi

Hallo RudiBe,

> Mir ist noch nicht klar woher ich einfach dx mit
> [mm]\bruch{dz}{cos(x)}[/mm] gleich setzten soll,

es gilt:
z=sin(x) und nun leitet man nach x ab
[mm] $\bruch{dz}{dx}=cos(x)$ [/mm] und "löst" dies nach "dx" auf
[mm] $dx=\bruch{dz}{cos(x)}$ [/mm]

ich habe "löst" in Anführungszeichen gesetzt,
da [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] ja eigentlich kein Bruch ist
sondern eine Schreibweise für "die Ableitung von z nach x"
dennoch darf man es hier so anwenden,
und wendet es auch so an

Viele Grüße,
Andi

Bezug
                                
Bezug
Integration durch Substitution: ok danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 Mi 26.03.2008
Autor: RudiBe

mich hatte nur ein nichtvorhandenes Minus vor dem cos(x) gestört, aber das ist ja eine Ableitung von sin(x) und keine Stammfunktion -> jetzt ist alles klar!

Bezug
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