Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 17.09.2008 | | Autor: | snowfox4 |
| Aufgabe | Beispiel für die Fragestellung:
Hallo strohbert,
Für dein Integral $ [mm] \integral{\bruch {1}{\wurzel{2x + 1} - 3}dx} [/mm] $
bietet sich m.E. die Substitution $ [mm] \green{u}:=\red{\sqrt{2x+1}-3} [/mm] $ an
$ [mm] \Rightarrow u+3=\sqrt{2x+1} \Rightarrow (u+3)^2=2x+1 \Rightarrow x=\frac{(u+3)^2-1}{2} [/mm] $
Damit ist $ [mm] \frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\cdot{}2(u+3)^1\cdot{}1=u+3 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \red{dx}=\green{du\cdot{}(u+3)} [/mm] $
Nun ersetzen wir $ [mm] \red{\sqrt{2x+1}-3} [/mm] $ durch $ [mm] \green{u} [/mm] $ und $ [mm] \red{dx} [/mm] $ durch $ [mm] \green{{du\cdot{}(u+3)}} [/mm] $
Also $ [mm] \integral{\bruch {1}{\red{\wurzel{2x + 1} - 3}}\red{dx}}=\integral{\bruch {1}{\green{u}}\green{du(u+3)}} [/mm] $
$ [mm] =\integral{\bruch {u+3}{u}du}=\integral{1du}+\integral{\bruch {3}{u}du}=\integral{1du}+3\cdot{}\integral{\bruch {1}{u}du} [/mm] $ multiplikative Konstante kann man ja vor das Integral ziehen
Davon nun eine Stammfunktion bilden und anschließend rücksubstituieren, also für $ u $ wieder $ [mm] \sqrt{2x+1}-3 [/mm] $ einsetzen.
Gruß
schachuzipus ... |
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Hallo!
Habe ein "kleines" Verständlichkeitsproblem bei der Beweisführung für die Integration durch Substitution. Warum kann ich die Leibniz Notation wie folgt umformen:
"...Damit ist $ [mm] \frac{dx}{du}=u+3 [/mm] $ $ [mm] \Rightarrow \red{dx}=\green{du\cdot{}(u+3)} [/mm] $"
Dabei handelt es sich doch nicht um ein gew. Bruch, sondern um eine Notation. Entsprechend kann ich die Notation doch nicht einfach umformen? Um was handelt es sich beim [mm] $\red{dx}$ [/mm] bzw. [mm] $\green{du}$. [/mm] Differential von [mm] $\red{x}$ [/mm] bzw. [mm] $\green{u}$? [/mm] Für eine Antwort bin ich dankbar!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 17.09.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Daniel,
> Habe ein "kleines" Verständlichkeitsproblem bei der
> Beweisführung für die Integration durch Substitution. Warum
> kann ich die Leibniz Notation wie folgt umformen:
>
> "...Damit ist [mm]\frac{dx}{du}=u+3[/mm] [mm]\Rightarrow \red{dx}=\green{du\cdot{}(u+3)} [/mm]"
>
> Dabei handelt es sich doch nicht um ein gew. Bruch, sondern
> um eine Notation. Entsprechend kann ich die Notation doch
> nicht einfach umformen?
Da hast du vollkommen recht!
Die "Umformung" ist eigentlich auch nur eine Art Eselsbrücke, die dabei hilft, sich die Vorgehensweise zu merken. Warum die Vorgehensweise selbst funktioniert, liest du am besten in dem dazugehörigen Beweis nach.
LG
Will
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