Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Do 27.05.2010 | | Autor: | zopffa |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{1/(g-k*x) dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
bei folgendem Integral bekomme ich je nach Lösungsweg 2 verschiedene Ergebnisse:
1.
Wenn ich zuerst -1 heraushebe und substituiere mit u = k*x - g lautet das Ergebnis [mm] -1/k*ln(k*x - g) [/mm]
2.
Oder aber ich hebe -1 nicht heraus und substituiere einfach u = g - k*x und bekomme [mm] -1/k*ln(g - k*x) [/mm] als Lösung
3.
Damit nicht genug, eigentlich ist es ein Teil einer Mechanik Aufgabe und im Buch wird ohne Begründung [mm] -1/k*ln(1 - (k*x)/g) [/mm] als Lösung angegeben
vielen Dank
mfg
leo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Do 27.05.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{a}^{b}{1/(g-k*x) dx}[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> bei folgendem Integral bekomme ich je nach Lösungsweg 2
> verschiedene Ergebnisse:
>
> 1.
> Wenn ich zuerst -1 heraushebe und substituiere mit u = k*x
> - g lautet das Ergebnis [mm]-1/k*ln(k*x - g)[/mm]
>
> 2.
> Oder aber ich hebe -1 nicht heraus und substituiere
> einfach u = g - k*x und bekomme [mm]-1/k*ln(g - k*x)[/mm] als
> Lösung
>
> 3.
> Damit nicht genug, eigentlich ist es ein Teil einer
> Mechanik Aufgabe und im Buch wird ohne Begründung
> [mm]-1/k*ln(1 - (k*x)/g)[/mm] als Lösung angegeben
Wenn du die 1 als [mm] \bruch{g}{g} [/mm] schreibst und dann zwei jetzt gleichnamige Brüche in der ln-Klammer zusammenfasst, kommst du auf eines deiner beiden Ergebnisse.
Im Übrigen kannst du auch beide Ergebnisse als Probe ableiten und schauen, bei welcher Variante 1/(g-k*x) herauskommt.
Gruß Abakus
>
> vielen Dank
> mfg
> leo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Fr 28.05.2010 | | Autor: | zopffa |
habe jetzt alle 3 lösungen abgeleitet und komme für alle auf das gleiche richtige ergebnisse, kann es sein dass ein integral mehrere lösungen hat? das mit dem brüche zusammenfassen bringe ich auc h nicht ganz hin, wenn ich zahlenwerte einsetzte komme ich ja auch auf unterschiedliche lösungen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Fr 28.05.2010 | | Autor: | skoopa |
> habe jetzt alle 3 lösungen abgeleitet und komme für alle
> auf das gleiche richtige ergebnisse, kann es sein dass ein
> integral mehrere lösungen hat?
Also soweit ich weiß ist das (Riemann-)Integral eindeutig, da es als eindeutiger Limes der Ober- und Untersummen einer Funktion definiert ist, also kann es nicht sein, dass ein und das selbe Integral zwei Lösungen hat.
Würde auch von der Anschauung her wenig Sinn machen, da man mit dem Integral ja z.B. den Flächeninhalt unter einer Kurve angeben kann und der ist ja auch eindeutig.
Das bezieht sich jedoch alles erstmal nur auf das Riemann-Integral. Wie das mit anderen Integralbegriffen ist weiß ich leider nicht genau. Würde mich aber auch interessieren. Vllt kann das ja noch jemand beantworten.
>das mit dem brüche
> zusammenfassen bringe ich auc h nicht ganz hin, wenn ich
> zahlenwerte einsetzte komme ich ja auch auf
> unterschiedliche lösungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Fr 28.05.2010 | | Autor: | abakus |
> habe jetzt alle 3 lösungen abgeleitet und komme für alle
> auf das gleiche richtige ergebnisse,
Das kann nicht sein.
Hast du bei der inneren Ableitung beachtet, dass die Ableitung von
k*x-g gleich k ist, die Ableitung von g-k*x jedoch gleich -k ist?
> kann es sein dass ein
> integral mehrere lösungen hat? das mit dem brüche
> zusammenfassen bringe ich auc h nicht ganz hin,
Autsch! Warst du während des gesamten 6. Schuljahres krank?
[mm] 1-\bruch{k*x}{g}=\bruch{g}{g}-\bruch{k*x}{g}=\bruch{g-k*x}{g}
[/mm]
> wenn ich
> zahlenwerte einsetzte komme ich ja auch auf
> unterschiedliche lösungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Fr 28.05.2010 | | Autor: | zopffa |
hallo,
aber [mm] 1/(k*x - g) [/mm] [mm] 1/(g - k+x) [/mm] und [mm] (g - k*x)/g [/mm] sind doch trotzdem noch immer verschiedene ausdrücke.
ich hab übrigens diee rechenwege als jpg s beigefügt vielleicht erkennt irgendwer meinen fehler, ich selber komm einfach nicht dahinter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, dein Blatt ist sehr schlecht lesbar, du hast Substitution gemacht
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{g-k*x} dx} [/mm] mit z:=g-kx mit [mm] \bruch{dz}{dx}=-k [/mm] mit [mm] dx=-\bruch{dz}{k}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z}*(-\bruch{1}{k})dz}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{k}\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}dz}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{k}*ln(z)
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{k}*ln(g-kx)
[/mm]
die drei Term sind nicht gleich
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Fr 28.05.2010 | | Autor: | zopffa |
stimmt, wenn ich aber zuerst (-1) heraushebe kommt etwas anderes heraus:
[mm] (-1)*\integral_{}^{}{\bruch{1}{k*x-g} dx} [/mm] mit z:=k*x-g mit [mm] \bruch{dz}{dx}=k [/mm] mit [mm] dx=\bruch{dz}{k}
[/mm]
[mm] (-1)*\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}*(\bruch{1}{k})dz}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{k}\integral_{}^{}{\bruch{1}{z}dz}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{k}*ln(z)
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{k}*ln(k*x-g) [/mm]
das ist nämlich auch das ergebnis das der taschenrechner und die formelsammlung ausspucken. Die im buch kommen (ohne Lösungsweg) auf
[mm] -\bruch{1}{k}*ln(1-\bruch{k*x}{g}) [/mm]
was ich noch rätselhafter finde und dass alle 3 lösungen obwohl offensichtlich verschieden, die gleiche ableitung nämlich die angabe, haben finde ich noch viel rätselhafter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Fr 28.05.2010 | | Autor: | chrisno |
Fang mal an mit den Rechenregeln für den Logarithmus zu spielen. Ziehe -1 aus einer Deiner Lösungen heraus. Dann erinnere Dich, dass eine Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Weiterhin ist es wichtig zu wissen, dass diese verschidenen Lösungen exisitieren. Du musst nachsehen, was k, g und x für Werte annehmen können und ob dann der Logarithmus definiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Fr 28.05.2010 | | Autor: | zopffa |
vielen dank für die schnellen antworten, der fehler lag darin dass ich die randbedingungen nicht eingearbeitet habe, wenn man dass macht kommt man über die integrationskonstante tatsächlich in jedem fall auf das gleiche ergebniss
mfg
leo
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