Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Do 17.02.2011 | | Autor: | Blublub |
| Aufgabe | Eine Stammfunktion mit angegebener Substitution bilden.
[mm]
f(x) = \bruch{1}{x^2*\wurzel{1-x^2}}
x = \bruch{1}{t}
[/mm] |
[mm]
g(x) = \bruch{1}{x}
g'(x) = \bruch{1}{x^2}
x = \bruch{1}{t}
f(x) = \bruch{-x^2}{x^2*\wurzel{1-x^2}}* \bruch{-1}{x^2}
= \bruch{-1}{\wurzel{1-x^2}}* \bruch{-1}{x^2}
= \bruch{1}{x^2*\wurzel{1-x^2}}* \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Substituieren:
[mm]
= \bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}* t^2
= \bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}
[/mm]
Hm, bisher richtig?
Aber wie gehts weiter?
Lg
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Hallo Blublub,
> Eine Stammfunktion mit angegebener Substitution bilden.
> [mm]
f(x) = \bruch{1}{x^2*\wurzel{1-x^2}}
x = \bruch{1}{t}
[/mm]
>
> [mm]
g(x) = \bruch{1}{x}
g'(x) = \bruch{1}{x^2}
x = \bruch{1}{t}
f(x) = \bruch{-x^2}{x^2*\wurzel{1-x^2}}* \bruch{-1}{x^2}
= \bruch{-1}{\wurzel{1-x^2}}* \bruch{-1}{x^2}
= \bruch{1}{x^2*\wurzel{1-x^2}}* \bruch{1}{x^2}
[/mm]
>
> Substituieren:
> [mm]
\bruch{1}{\wurzel{1-t^2}}* t^2
\bruch{t^2}{\wurzel{1-t^2}}
[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{t^2}{\wurzel{1-\red{\left(\bruch{1}{t}\right)}^2}}[/mm]
Das Differential dx in
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}*\wurzel{1-x^{2}}} \ dx}[/mm]
ist auch noch zu ersetzen.
>
> Hm, bisher richtig?
> Aber wie gehts weiter?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 17.02.2011 | | Autor: | Blublub |
Ja, so habe ich es auch hier.
Bin mir nicht sicher, warum der bei mir die (von mir geschriebenen)Sachen nicht korrekt anzeigt, da eig. nur Verwirrung entsteht, so wie ist es, könnte man davon ausgehen, dass es bei dir ordentlich angezeigt wird?
Also ich bin halt bis:
[mm]
f(x) = \bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}
[/mm]
gekommen.
Hm, was meinst du damit, dass ich dx ersetzen muss?
Dass ich die Grenzen neu definiere? (g(a), g(b)).
War mir nicht sicher, wie ich das anstelle, wenn ich nur eine Stammfunktion bilden soll..
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Hallo Blublub,
> Ja, so habe ich es auch hier.
> Bin mir nicht sicher, warum der bei mir die (von mir
> geschriebenen)Sachen nicht korrekt anzeigt, da eig. nur
> Verwirrung entsteht, so wie ist es, könnte man davon
> ausgehen, dass es bei dir ordentlich angezeigt wird?
>
> Also ich bin halt bis:
> [mm]
f(x) = \bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}
[/mm]
> gekommen.
> Hm, was meinst du damit, dass ich dx ersetzen muss?
Nun, Du hast die Substitution [mm]t=\bruch{1}{x}[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm]t'=-\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
Schreibt ma für [mm]t'=\bruch{dt}{dx}[/mm]. so ergibt sich:
[mm]\bruch{dt}{dx}=-\bruch{1}{x^{2}} \rightarrow dt=-\bruch{1}{x^{2}} \ dx[/mm]
Umgeformt und die Substitution angewendet ergibt: [mm]dt = \ ... [/mm]
> Dass ich die Grenzen neu definiere? (g(a), g(b)).
> War mir nicht sicher, wie ich das anstelle, wenn ich nur
> eine Stammfunktion bilden soll..
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 17.02.2011 | | Autor: | Blublub |
Bisher hieß es immer, dass wir das "dx" nicht weiter betrachten müssen, da es nur zeigt, nach welcher Variable wir integrieren.
Ich frage mich gerade, warum
[mm]t' = \bruch{dt}{dx}[/mm] ist?
[mm]
dt = -t^2 dx
[/mm] ?
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Hallo Blublub,
> Bisher hieß es immer, dass wir das "dx" nicht weiter
> betrachten müssen, da es nur zeigt, nach welcher Variable
> wir integrieren.
> Ich frage mich gerade, warum
> [mm]t' = \bruch{dt}{dx}[/mm] ist?
> [mm]
dt = -t^2 dx
[/mm] ?
Das ist eine andere Schreibweise für t'.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 17.02.2011 | | Autor: | Blublub |
Ausversehen, die andere Frage auf "nicht beantwortet" gesetzt, hatte mich nur verklickt, finde aber gerade nicht, wie ich das wieder ändern kann :P
[mm]
f(x) = \bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}
[/mm]
SO weit bin ich jetzt, jetzt kann ich aber leider immernoch nichts mit deinem Vorschlag anfangen.
Also was muss da jetzt noch dazu?
das t' ist ja mein t². welches ich im Zähler habe. Oder etwa nicht?
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Hallo Blublub,
> Ausversehen, die andere Frage auf "nicht beantwortet"
> gesetzt, hatte mich nur verklickt, finde aber gerade nicht,
> wie ich das wieder ändern kann :P
>
> [mm]
f(x) = \bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}}
[/mm]
>
> SO weit bin ich jetzt, jetzt kann ich aber leider immernoch
> nichts mit deinem Vorschlag anfangen.
> Also was muss da jetzt noch dazu?
Bis jetzt hast Du
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}} \ dx}[/mm]
Ersetze nun das "dx".
> das t' ist ja mein t². welches ich im Zähler habe. Oder
> etwa nicht?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 17.02.2011 | | Autor: | Blublub |
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}} * -t^2\ dt}
dx = -t^2 dt
[/mm]
?
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Hallo Blublub,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}} * -t^2\ dt}
dx = -t^2 dt
[/mm]
>
> ?
"dx" ist doch [mm]dx=-\bruch{1}{t^{2}} \ dt[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Do 17.02.2011 | | Autor: | Blublub |
| Aufgabe | | [mm]
\integral_{}^{}{\bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}} \cdot{} \bruch{-1}{t^2}\ dt}
[/mm] |
die beiden t² kürzen sich raus..
Aber wie mach ich dann weiter?
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Hallo Blublub,
> [mm]
\integral_{}^{}{\bruch{t^2}{\wurzel{1-\bruch{1}{t^2}}} \cdot{} \bruch{-1}{t^2}\ dt}
[/mm]
>
> die beiden t² kürzen sich raus..
> Aber wie mach ich dann weiter?
Erweitere so, daß Du unter der Wurzel ein Polynom stehen hast.
Gruss
MathePower
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