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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Sa 13.08.2011 | | Autor: | co0kie88 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
[mm] \integral{\frac{x+1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}} dx} [/mm] |
Hallo Leute!
Diese Aufgabe macht mich einfach WAHNSINNIG. Ich weiß zwar, was ich als Ergebnis erhalten sollte und ich bin der Meinung, auch richtig zu rechnen... Aber dennoch habe ich am Ende einen Faktor zu viel. Ich werde hier meinen Lösungsweg posten und hoffe, dass mir jemand hilft, meinen Fehler zu erkennen, denn ich erkenne ihn seit geschlagenen zwei Stunden einfach nicht und raste bald aus.
So, here goes:
Ich substituiere folgendermaßen:
[mm]\left(x = \frac{\sqrt{11}}{2}y-\frac{1}{2}\right) \gdw \left( y := \frac{2x+1}{\sqrt{11}} \right)[/mm]
[mm]dx = \frac{\sqrt{11}}{2}dy[/mm]
Und erhalte damit:
[mm] \integral{\frac{x+1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\frac{\frac{\sqrt{11}}{2}y+\frac{1}{2}}{\frac{11}{4}y^2+\frac{11}{4}} \frac{\sqrt{11}}{2}dy}
[/mm]
[mm] =\integral{\frac{\frac{11}{4}y+\frac{\sqrt{11}}{4}}{\frac{11}{4}y^2+\frac{11}{4}}dy}
[/mm]
[mm] =\integral{\frac{y+\frac{1}{\sqrt{11}}}{y^2+1}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\integral{\frac{2y}{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{11}}\integral{\frac{1}{y^2+1}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\ln(y^2+1)+\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan{y}
[/mm]
Resubstitution ergibt:
[mm] \frac{1}{2}\ln\left( \frac{4}{11}(x^2+x+3) \right)+\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan{\left( \frac{2x+1}{\sqrt{11}} \right)}
[/mm]
Und DAS check ich einfach nicht. Denn laut Maple kommt genau dieses Ergebnis heraus nur ohne die [mm] \frac{4}{11} [/mm] im Logarithmus. Die Substitution müsste aber richtig sein, denn das zweite Integral, bei dem zum Schluss der Arcustangens herauskommt, ist ja richtig so. Ich weiß einfach nicht was ich falsch mache, ich habe es schon 10x durchgerechnet und stundenlang draufgestarrt, ich check meinen Fehler einfach nicht. Kann mich BITTE jemand erleuchten? :P
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo co0kie88,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
> [mm]\integral{\frac{x+1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}} dx}[/mm]
>
> Hallo Leute!
>
> Diese Aufgabe macht mich einfach WAHNSINNIG. Ich weiß
> zwar, was ich als Ergebnis erhalten sollte und ich bin der
> Meinung, auch richtig zu rechnen... Aber dennoch habe ich
> am Ende einen Faktor zu viel. Ich werde hier meinen
> Lösungsweg posten und hoffe, dass mir jemand hilft, meinen
> Fehler zu erkennen, denn ich erkenne ihn seit geschlagenen
> zwei Stunden einfach nicht und raste bald aus.
>
> So, here goes:
>
> Ich substituiere folgendermaßen:
> [mm]\left(x = \frac{\sqrt{11}}{2}y-\frac{1}{2}\right) \gdw \left( y := \frac{2x+1}{\sqrt{11}} \right)[/mm]
>
> [mm]dx = \frac{\sqrt{11}}{2}dy[/mm]
>
> Und erhalte damit:
> [mm]\integral{\frac{x+1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\frac{\frac{\sqrt{11}}{2}y+\frac{1}{2}}{\frac{11}{4}y^2+\frac{11}{4}} \frac{\sqrt{11}}{2}dy}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\frac{\frac{11}{4}y+\frac{\sqrt{11}}{4}}{\frac{11}{4}y^2+\frac{11}{4}}dy}[/mm]
>
> [mm]=\integral{\frac{y+\frac{1}{\sqrt{11}}}{y^2+1}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2}\integral{\frac{2y}{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{11}}\integral{\frac{1}{y^2+1}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2}\ln(y^2+1)+\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan{y}[/mm]
>
>
> Resubstitution ergibt:
>
> [mm]\frac{1}{2}\ln\left( \frac{4}{11}(x^2+x+3) \right)+\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan{\left( \frac{2x+1}{\sqrt{11}} \right)}[/mm]
>
> Und DAS check ich einfach nicht. Denn laut Maple kommt
> genau dieses Ergebnis heraus nur ohne die [mm]\frac{4}{11}[/mm] im
> Logarithmus. Die Substitution müsste aber richtig sein,
> denn das zweite Integral, bei dem zum Schluss der
> Arcustangens herauskommt, ist ja richtig so. Ich weiß
> einfach nicht was ich falsch mache, ich habe es schon 10x
> durchgerechnet und stundenlang draufgestarrt, ich check
> meinen Fehler einfach nicht. Kann mich BITTE jemand
> erleuchten? :P
Wende das Logarithmus-Gesetz
[mm]\ln\left(a*b\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)[/mm]
auf den Ausdruck
[mm]\ln\left( \frac{4}{11}(x^2+x+3) \right)[/mm]
an. Dann siehst Du, daß der Vorfaktor nur eine Konstante ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Sa 13.08.2011 | | Autor: | co0kie88 |
Vielen Dank! Ich wusste, dass es was "dummes" sein würde :)
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