Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Do 07.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Integriere [mm] \integral_{0}^{2pi}{x cos(x) dx}
[/mm]
mit Substitution! |
Hallo liebe Gemeinde!
Mein Versuch:
sustituiere x=t+pi
[mm] \integral{x cos(x) dx}
[/mm]
= [mm] -\integral{(t+pi) cos(t) dt}
[/mm]
= [mm] -\integral{t cos(t) dt} -pi\integral{ cos(t) dt}
[/mm]
bringt mich das irgendwie weiter? ich drehe mich nur im kreis :(
ich weis mit partieller integration wäre das bsp ganz leicht zu lösen...
es soll aber explizit mit x=t+pi substituiert werden...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Do 07.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Integriere [mm]\integral_{0}^{2pi}{x cos(x) dx}[/mm]
> mit
> Substitution!
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Mein Versuch:
>
> sustituiere x=t+pi
>
> [mm]\integral{x cos(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]-\integral{(t+pi) cos(t) dt}[/mm]
>
> = [mm]-\integral{t cos(t) dt} -pi\integral{ cos(t) dt}[/mm]
das ist soweit alles richtig.
>
> bringt mich das irgendwie weiter? ich drehe mich nur im
> kreis :(
Das sehe ich auch so.
>
> ich weis mit partieller integration wäre das bsp ganz
> leicht zu lösen...
Auch richtig.
>
> es soll aber explizit mit x=t+pi substituiert werden...
Wer sagt das und bist Du Dir da ganz sicher? Ich sehe durch diese Substitution nämlich keine Vereinfachung.
Gruß,
notinX
PS: Ich lass mal halboffen, vielleicht sieht ja ein anderer mehr.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 07.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
habs nochmal kontrolliert, steht wirklich genau so in der angabe von unserem prof.
vielleicht muss man die grenzen irgendwie einfließen lassen bei der substitution?
|
|
|
| |
|
Hallo elmanuel,
> habs nochmal kontrolliert, steht wirklich genau so in der
> angabe von unserem prof.
>
> vielleicht muss man die grenzen irgendwie einfließen
> lassen bei der substitution?
Ja, genau. Und ein Additionstheorem.
Probiers doch mal.
Und mach Dir Gedanken über gerade und ungerade Funktionen...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 07.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Entschuldigt, falls ich Mist schreibe, ich mache gerade Schluss.
Wo kommen die Minuszeichen her?
Falls sie dahin gehören, ist das zweite Integral, cos über ein Periode, =0. Dann steht da fast x = -x, nur sind die Grenzen der Integrale unterschiedlich.
Ich denke, dass es hier wesentlich eingeht, dass die Integration über eine Periode des cos läuft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Do 07.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo chrisno,
> Entschuldigt, falls ich Mist schreibe, ich mache gerade
> Schluss.
> Wo kommen die Minuszeichen her?
es gilt doch [mm] $\cos(x+\pi)=-\cos [/mm] x$, oder?
> Falls sie dahin gehören, ist das zweite Integral, cos
> über ein Periode, =0. Dann steht da fast x = -x, nur sind
> die Grenzen der Integrale unterschiedlich.
> Ich denke, dass es hier wesentlich eingeht, dass die
> Integration über eine Periode des cos läuft.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Do 07.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
das minus kommt daher das cos(t+pi)=-cos(t)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Integriere [mm]\integral_{0}^{2pi}{x cos(x) dx}[/mm]
> mit
> Substitution!
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Mein Versuch:
>
> sustituiere x=t+pi
>
> [mm]\integral{x cos(x) dx}[/mm]
>
> = [mm]-\integral{(t+pi) cos(t) dt}[/mm]
>
> = [mm]-\integral{t cos(t) dt} -pi\integral{ cos(t) dt}[/mm]
>
> bringt mich das irgendwie weiter? ich drehe mich nur im
> kreis :(
Du hast bei deiner Substitution:
[mm]\int_0^{2\pi} x \cos(x) dx[/mm]
Substitution [mm]t = x - \pi[/mm] liefert (es ist [mm] $\cos(x-\pi)$
[/mm]
[mm]= \int_{-\pi}^{\pi} (t+\pi) (-\cos(t)) dt = -\int_{-\pi}^{\pi} t \cos(t) dt - \pi\cdot \int_{-\pi}^{\pi} \cos(t) dt[/mm].
Begründe nun, warum beide Integrale verschwinden:
1. Integral verschwindet, weil über eine ungerade (punktsymmetrische) Funktion von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] integriert wird
2. Integral verschwindet, da Integration über eine Periode des Cosinus.
Also Ergebnis = 0.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Fr 08.03.2013 | | Autor: | elmanuel |
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Danke reverend und Stefan!
|
|
|
|
