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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Könnte mir jmd. bitte erklären, wie ich
[mm] \integral_{}^{}{e^{-y^2} dy}
[/mm]
berechne? Ich habe hier gar keinen Ansatz. Selbst mein TI kann mir hier nicht helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Maiko
> Könnte mir jmd. bitte erklären, wie ich
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-y^2} dy}[/mm]
>
> berechne? Ich habe hier gar keinen Ansatz. Selbst mein TI
> kann mir hier nicht helfen!
Das darfst du deinem TI nicht übelnehmen... 
[mm]\int {e^{-y^{2}}dy}[/mm] kann man nicht berechnen, denn es gibt keine Stammfunktion (zumindest hat noch niemand eine gefunden...)
Du kannst höchstens [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^2} dy}[/mm] berechnen, aber selbst dabei muss man mit Flächenfunktionen und Polarkoordinaten tricksen...
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Maiko |
| Aufgabe | Gibt es holomorphe Funktionen f(z) = u(x, y) + iv(x, y) mit z = x + iy (x,y [mm] \in [/mm] R), für welche gilt:
(a) u(x, y) = [mm] x^2 [/mm] − [mm] y^2 [/mm] + 5x
(b) u(x, y) = [mm] e^{x^2−y^2} [/mm] ?
Bestimmen Sie gegebenenfalls alle diese Funktionen in der Form w = f(z) sowie ihre Ableitung f'(z). |
So, ok.
Bei a) habe ich herausgefunden, dass es keine holomorphe Funktion gibt.
[mm] u_x [/mm] = 2x+5 = [mm] v_y
[/mm]
[mm] u_y [/mm] = -2y = [mm] -v_x
[/mm]
v(x,y) = [mm] \integral_{}^{}{2x+5 dy} [/mm] = (2x+5)*y + C(x)
v(x,y) = [mm] \integral_{}^{}{2y dy} [/mm] = 2*y*x + C(y)
Aus diesen Ergebnissen wird deutlich, dass das ganze nicht funktionieren kann.
Jetzt zu b)
Hier wollte ich genauso vorgehen:
[mm] u_x [/mm] = [mm] 2*x*e^{x^2-y^2}
[/mm]
[mm] u_y [/mm] = [mm] -2*y*e^{x^2-y^2}
[/mm]
Wenn ich jetzt allerdings integrieren will, bekomme ich ein Problem.
Ich würde diese Aufgabe aber schon mit diesem Lösungsalgorithmus lösen wollen, da wir auch keinen anderen kennen gelernt haben.
Wir hatten maximal noch
[mm] \Delta [/mm] u = [mm] u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy} [/mm] = 0
Allerdings ist diese Gleichung sehr kompliziert und nicht schnell, wenn überhaupt, zu lösen.
Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
> Gibt es holomorphe Funktionen f(z) = u(x, y) + iv(x, y) mit
> z = x + iy (x,y [mm]\in[/mm] R), für welche gilt:
> (a) u(x, y) = [mm]x^2[/mm] − [mm]y^2[/mm] + 5x
> (b) u(x, y) = [mm]e^{x^2−y^2}[/mm] ?
> Bestimmen Sie gegebenenfalls alle diese Funktionen in der
> Form w = f(z) sowie ihre Ableitung f'(z).
> So, ok.
> Bei a) habe ich herausgefunden, dass es keine holomorphe
> Funktion gibt.
>
> [mm]u_x[/mm] = 2x+5 = [mm]v_y[/mm]
> [mm]u_y[/mm] = -2y = [mm]-v_x[/mm]
>
> v(x,y) = [mm]\integral_{}^{}{2x+5 dy}[/mm] = (2x+5)*y + C(x)
> v(x,y) = [mm]\integral_{}^{}{2y dy}[/mm] = 2*y*x + C(y)
>
> Aus diesen Ergebnissen wird deutlich, dass das ganze nicht
> funktionieren kann.
Wieso das?! Wie waers mit $C(x) = 0$ und $C(y) = 5 y$?
> Jetzt zu b)
> Hier wollte ich genauso vorgehen:
>
> [mm]u_x[/mm] = [mm]2*x*e^{x^2-y^2}[/mm]
> [mm]u_y[/mm] = [mm]-2*y*e^{x^2-y^2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt allerdings integrieren will, bekomme ich ein
> Problem.
> Ich würde diese Aufgabe aber schon mit diesem
> Lösungsalgorithmus lösen wollen, da wir auch keinen anderen
> kennen gelernt haben.
> Wir hatten maximal noch
>
> [mm]\Delta[/mm] u = [mm]u_{xx}[/mm] + [mm]u_{yy}[/mm] = 0
>
> Allerdings ist diese Gleichung sehr kompliziert und nicht
> schnell, wenn überhaupt, zu lösen.
Wieso das? Damit geht das wirklich sehr einfach: Du bekommst heraus, dass [mm] $\Delta [/mm] u = 0$ genau dann gilt, wenn $x = y = 0$ ist. Damit ist $u$ nicht harmonisch auf einem Gebiet und somit kein Realteil einer holomorphen Funktion.
Schreib doch mal auf was du hier gerechnet hast.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Könnte mir jmd. bitte erklären, wie ich
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{e^{-y^2} dy}[/mm]
> >
> > berechne? Ich habe hier gar keinen Ansatz. Selbst mein TI
> > kann mir hier nicht helfen!
>
> Das darfst du deinem TI nicht übelnehmen...
> [mm]\int {e^{-y^{2}}dy}[/mm] kann man nicht berechnen, denn es gibt
> keine Stammfunktion (zumindest hat noch niemand eine
> gefunden...)
Das stimmt so nicht! Die Funktion $f(y) := [mm] e^{-y^2}$ [/mm] ist stetig und besitzt somit sehr wohl eine Stammfunktion (wens interessiert: mal nach ''error function'' oder ''erf'' googeln). Was du meinst: Diese Stammfunktion kann nicht durch elementare Funktionen angegeben werden (dazu zaehlen Sinus, Kosinus, E-Funktion, Polynome, Logarithmus, und Verknuepfungen solcher). Das dies nicht geht kann man sogar beweisen (z.B. mit Hilfsmitteln der Differentialalgebra).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Di 21.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Felix,
> Das stimmt so nicht! Die Funktion [mm]f(y) := e^{-y^2}[/mm] ist
> stetig und besitzt somit sehr wohl eine Stammfunktion (wens
> interessiert: mal nach ''error function'' oder ''erf''
> googeln). Was du meinst: Diese Stammfunktion kann nicht
> durch elementare Funktionen angegeben werden (dazu zaehlen
> Sinus, Kosinus, E-Funktion, Polynome, Logarithmus, und
> Verknuepfungen solcher). Das dies nicht geht kann man sogar
> beweisen (z.B. mit Hilfsmitteln der Differentialalgebra).
Du hast völlig recht, ich habe mich unpräzise ausgedrückt!
Natürlich gibt es eine Stammfunktion (die [mm] $\Phi$-Funktion [/mm] ist mir durchaus bekannt!). Aber aufgrund der Tatsache, dass man sie nicht darstellen kann, hat sich bei mir die Sprechweise "es gibt keine Stammfunktion" eingebürgert...
Aber gut, dass du das nochmal präzisiert hast:
Alle stetigen Funktionen besitzen eine Stammfunktion!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Ich bedanke mich für Eure Hilfe und eure Antworten.
Ich konnte das Problem nun lösen 
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