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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Edem |
| Aufgabe | Löse das Integral:
[mm] \integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s-r)^2}drds [/mm] |
Liebe MatheRäumler,
ich brüte nun seit einiger Zeit über obigem Problem. Konkret habe ich zwei Fragen:
1) Ich habe mittlerweile "gefühlsmäßig" eingesehen, dass dieses Integral existieren muss. Denn wenn $s$ oder $r$ groß werden, fällt die Funktion hinreichend schnell gegen Null ab und für kleine Werte ist sie beschränkt. Nun frage ich mich, gibt es (relativ schmerzlose) Techniken, um die Existenz des Integrals zu zeigen?
Ursprünglich hatte ich mit Hilfe von [mm] \integral_{\IR}e^{-fx^2+gx+h}dx=\sqrt{\bruch{\pi}{f}}e^{\bruch{g^2}{4f}+h} [/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia), so geschlossen:
[mm] \integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s-r)^2}drds [/mm] = [mm] \integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s^2-2sr+r^2)}drds [/mm] = [mm] \integral_{\IR} \sqrt{\pi}e^{(2r)^2/4 - r^2} [/mm] = [mm] \integral_{\IR} \sqrt{\pi}e^0 [/mm] = [mm] \integral_{\IR} \sqrt{\pi} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Nun frage ich mich, wo steckt der Fehler?
2) Beim eigentlichen Problem komme ich leider auch nicht weiter. Versucht habe ich Polarkoordinaten einzuführen, dann erhalte ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\infty}Re^{-R^2(1-\sin(2\phi))}dRd\phi
[/mm]
Für Ausdrücke der Form [mm] \integral_{0}^{\infty}Re^{-aR^2}dR [/mm] mit $a>0$ gibt es Formeln. Nun kann [mm] $a=1-\sin(2\phi)$ [/mm] für [mm] $\phi \in [0,2\pi]$ [/mm] aber auch mal Null sein. Außerdem würde so ein Ansatz voraussetzen, dass ich beide Integral nacheinander ausrechnen darf. So eine Idee hatte unter 1) aber zu Problemen geführt...
Weiß jemand weiter? Ich bin jedem dankbar, der mir weiterhelfen kann!!
Ädem
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Löse das Integral:
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> [mm]\integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s-r)^2}drds[/mm]
> Liebe MatheRäumler,
>
> ich brüte nun seit einiger Zeit über obigem Problem.
> Konkret habe ich zwei Fragen:
>
> 1) Ich habe mittlerweile "gefühlsmäßig" eingesehen, dass
> dieses Integral existieren muss. Denn wenn [mm]s[/mm] oder [mm]r[/mm] groß
> werden, fällt die Funktion hinreichend schnell gegen Null
> ab und für kleine Werte ist sie beschränkt. Nun frage ich
> mich, gibt es (relativ schmerzlose) Techniken, um die
> Existenz des Integrals zu zeigen?
Deine Anschauung truegt hier: das Integral existiert eben nicht, da die Funktion zwar fuer festes $s$ und $r [mm] \to \pm \infty$ [/mm] stark abfaellt, und ebenso fuer $s [mm] \to \pm\infty$ [/mm] und festes $r$, aber wenn z.B. $s$ und $r$ beide gleichstark gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] gehen, dann geht die Funktion gegen 1.
> Ursprünglich hatte ich mit Hilfe von
> [mm]\integral_{\IR}e^{-fx^2+gx+h}dx=\sqrt{\bruch{\pi}{f}}e^{\bruch{g^2}{4f}+h}[/mm]
> (siehe
> Wikipedia),
> so geschlossen:
>
> [mm]\integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s-r)^2}drds[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s^2-2sr+r^2)}drds[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR} \sqrt{\pi}e^{(2r)^2/4 - r^2}[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR} \sqrt{\pi}e^0[/mm] = [mm]\integral_{\IR} \sqrt{\pi}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
>
> Nun frage ich mich, wo steckt der Fehler?
Da ist kein Fehler.
Es geht uebrigens auch noch etwas einfacher, du kannst mit einer einfachen Substitution [mm] $\int_\IR e^{-(s - r)^2} [/mm] dr = [mm] \int_\IR e^{-(-r)^2} [/mm] dr$ zeigen. Dieses Integral nimmt irgendeinen positiven Wert $C$ an. Damit ist das gesamte Integral nun [mm] $\int_\IR [/mm] C [mm] \; [/mm] ds = [mm] \infty$.
[/mm]
Du brauchst also nichtmals genau zu wissen dass $C = [mm] \sqrt{\pi}$ [/mm] ist.
> 2) Beim eigentlichen Problem komme ich leider auch nicht
> weiter. Versucht habe ich Polarkoordinaten einzuführen,
> dann erhalte ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\infty}Re^{-R^2(1-\sin(2\phi))}dRd\phi[/mm]
>
> Für Ausdrücke der Form [mm]\integral_{0}^{\infty}Re^{-aR^2}dR[/mm]
> mit [mm]a>0[/mm] gibt es Formeln. Nun kann [mm]a=1-\sin(2\phi)[/mm] für [mm]\phi \in [0,2\pi][/mm]
> aber auch mal Null sein. Außerdem würde so ein Ansatz
> voraussetzen, dass ich beide Integral nacheinander
> ausrechnen darf. So eine Idee hatte unter 1) aber zu
> Problemen geführt...
Nach dem Satz von Tonelli darfst du die Integrationsreihenfolge beliebig tauschen, da der Integrand nicht-negativ ist.
Und mal ganz davon abgesehen: in der Aufgabenstellung steht [mm]\integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-(s-r)^2}drds[/mm], und da hast du schon zwei getrennte Integrale die du getrennt hintereinander ausrechnen darfst. Andernfalls wuerde da [mm] $\int_{\IR \times \IR} e^{-(s - r)^2} [/mm] d(r, s)$ stehen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Edem |
Herzlichen Dank fürs Knotenlösen!!
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