Integration entlang Kurve < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Im Halbraum [mm] $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+$ [/mm] sei eine Kurve [mm] $\Gamma=\{(\sigma(t),t):t>0\}$ [/mm] mit [mm] $\sigma$ [/mm] stetig differenzierbar gegeben. Die Funktion $f$ sei auf [mm] $\Gamma$ [/mm] stetig. Ist [mm] $\phi$ [/mm] eine beliebige stetig differenzierbare, nichtnegative Funktion mit kompaktem Träger in [mm] $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+$ [/mm] und gilt
[mm] $\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) [/mm] dS [mm] \geq [/mm] 0$ für alle solche [mm] $\phi \in C^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)$ [/mm] mit kompaktem Träger,
so folgt [mm] $\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq [/mm] 0$. Warum? |
Hallo,
die Frage leitet sich so ein bisschen aus dem Zusammenhang der Rankine-Hugoniot Bedingung und schwachen Lösungen von Erhaltungssätzen her.
Ich seh noch nicht so ganz ein, warum der Integrand nichtnegativ sein soll, wenn das Integral nichtnegativ ist. Zunächst einmal ist [mm] $\phi$ [/mm] sowieso nichtnegativ. Weiterhin muss man wohl die Stetigkeit von allem und den kompakten Träger ausnutzen.
Ich stelle mir das ganze bisher so vor: An irgendeinem Punkt auf der Kurve [mm] ($\sigma(t_0),t_0)$ [/mm] muss der Integrand positiv sein (oder er ist überall Null), da das Integral sonst nicht [mm] $\geq [/mm] 0$ sein könnte.
Angenommen also der Integrand ist nicht überall Null.
Da [mm] $\phi$ [/mm] beliebig ist, könnte man den Träger von [mm] $\phi$ [/mm] um diesen Punkt auf der Kurve legen. Aufgrund der Stetigkeit des Integranden, existiert nun ein beliebig kleiner Durchmesser der Trägermenge von [mm] $\phi$, [/mm] sodass die Funktionswerte des Integranden nur noch beliebig wenig von dem positiven Wert an der Stelle mit [mm] $t_0$ [/mm] abweichen (z.B. wähle man als [mm] $\varepsilon$ [/mm] die Hälfte des positiven Werts des Integranden bei [mm] $t_0$ [/mm] und findet ein entsprechendes [mm] $\delta$ [/mm] wg. der Stetigkeit).
Damit hätte ich die Behauptung schonmal für alle Kurvebpunkte, die in der konstruierten Trägermenge liegen, gezeigt. Sie gilt damit aber auch für alle Kurvenpunkte. Denn angenommen an irgendeinem Kurvenpunkt ist [mm] $\sigma'(t)f(\sigma(t),t)<0$, [/mm] so kann man sich wie oben eine Trägermenge konstruieren, in der alle Werte des Integranden negativ wären und damit das ganze Integral.
Ist das einigermaßen nachvollziehbar bzw. korrekt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:12 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Im Halbraum [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm] sei eine Kurve
> [mm]\Gamma=\{(\sigma(t),t):t>0\}[/mm] mit [mm]\sigma[/mm] stetig
> differenzierbar gegeben. Die Funktion [mm]f[/mm] sei auf [mm]\Gamma[/mm]
> stetig. Ist [mm]\phi[/mm] eine beliebige stetig differenzierbare,
> nichtnegative Funktion mit kompaktem Träger in [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm]
> und gilt
> [mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dS \geq 0[/mm]
> für alle solche [mm]\phi \in C^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)[/mm]
> mit kompaktem Träger,
> so folgt [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm]. Warum?
Also das Integral ist komisch notiert. Ich denke es soll
[mm]\int_{\mathbb{R}_+} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dt \geq 0[/mm] heißen? Und [mm]\phi [/mm] müsste dann konsequenter Weise auch eine [mm]C^{1}[/mm] Funktion auf [mm]\Gamma [/mm] sein, und du integrierst [mm]f*\phi [/mm] über [mm]\Gamma[/mm].
Im Wesentlichen hast du ein Integral [mm]\int_{\mathbb{R}_{+}}hg dt[/mm], mit Funktionen [mm]h:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}, g:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+}[/mm], wobei g beliebig [mm]C^{1}[/mm] ist mit kompaktem Träger (das fordert man, um sicher zu gehen dass das Integral existiert).
> Hallo,
>
> die Frage leitet sich so ein bisschen aus dem Zusammenhang
> der Rankine-Hugoniot Bedingung und schwachen Lösungen von
> Erhaltungssätzen her.
> Ich seh noch nicht so ganz ein, warum der Integrand
> nichtnegativ sein soll, wenn das Integral nichtnegativ ist.
> Zunächst einmal ist [mm]\phi[/mm] sowieso nichtnegativ. Weiterhin
> muss man wohl die Stetigkeit von allem und den kompakten
> Träger ausnutzen.
> Ich stelle mir das ganze bisher so vor: An irgendeinem
> Punkt auf der Kurve ([mm]\sigma(t_0),t_0)[/mm] muss der Integrand
> positiv sein (oder er ist überall Null), da das Integral
> sonst nicht [mm]\geq 0[/mm] sein könnte.
> Angenommen also der Integrand ist nicht überall Null.
> Da [mm]\phi[/mm] beliebig ist, könnte man den Träger von [mm]\phi[/mm] um
> diesen Punkt auf der Kurve legen. Aufgrund der Stetigkeit
> des Integranden, existiert nun ein beliebig kleiner
> Durchmesser der Trägermenge von [mm]\phi[/mm], sodass die
> Funktionswerte des Integranden nur noch beliebig wenig von
> dem positiven Wert an der Stelle mit [mm]t_0[/mm] abweichen (z.B.
> wähle man als [mm]\varepsilon[/mm] die Hälfte des positiven Werts
> des Integranden bei [mm]t_0[/mm] und findet ein entsprechendes
> [mm]\delta[/mm] wg. der Stetigkeit).
> Damit hätte ich die Behauptung schonmal für alle
> Kurvebpunkte, die in der konstruierten Trägermenge liegen,
> gezeigt. Sie gilt damit aber auch für alle Kurvenpunkte.
> Denn angenommen an irgendeinem Kurvenpunkt ist
> [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm], so kann man sich wie oben eine
> Trägermenge konstruieren, in der alle Werte des
> Integranden negativ wären und damit das ganze Integral.
>
> Ist das einigermaßen nachvollziehbar bzw. korrekt?
Die Idee ist schon im Wesentlichen richtig, aber du hast es nicht ganz sauber ausgeführt. Der Punkt ist, dass es zu jeder [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung eine positive [mm]C^{1}[/mm] Funktion gibt, deren Träger in der [mm]\epsilon[/mm] - Umgebung liegt. Tatsächlich gibt es für beliebige Mannigfaltigkeiten solche Funktionen die sogar glatt sind (Dies führt auch zu der so wichtigen Zerlegung der 1 in der Differentialgeometrie).
In deinem Fall ist einfach eine 1-dim Funktion gesucht, und als Standardbeispiel gibt es da die Funktion [mm]t\mapsto \begin{cases} exp(-\bruch{1}{t^{2}}), & t \leq 0 \\ 0, & t > 0 \end{cases} [/mm] (die man natürlich an die jeweilige Umgebung anpassen muss.
Wenn deine Funktion h also in einem Punkt kleiner als Null ist, gibt es wegen der Stetigkeit eine Umgebung, in der sie überall kleiner als 0 ist (wie du ja schon erwähnt hast), und dann findet man zu dieser Umgebung eine positive Funktion g deren Träger ganz in der Umgebung liegt. Dann muss das Integral über gh aber auch kleiner als 0 sein.
Beste Grüße,
Berieux
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > Im Halbraum [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm] sei eine Kurve
> > [mm]\Gamma=\{(\sigma(t),t):t>0\}[/mm] mit [mm]\sigma[/mm] stetig
> > differenzierbar gegeben. Die Funktion [mm]f[/mm] sei auf [mm]\Gamma[/mm]
> > stetig. Ist [mm]\phi[/mm] eine beliebige stetig differenzierbare,
> > nichtnegative Funktion mit kompaktem Träger in [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm]
> > und gilt
> > [mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dS \geq 0[/mm]
> > für alle solche [mm]\phi \in C^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)[/mm]
> > mit kompaktem Träger,
> > so folgt [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm]. Warum?
>
> Also das Integral ist komisch notiert. Ich denke es soll
> [mm]\int_{\mathbb{R}_+} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dt \geq 0[/mm]
> heißen?
Eigentlich sollte man das Integral so notieren:
[mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(x,t)\phi(x,t) dS(x,t) \geq 0[/mm].
Macht das mehr Sinn??? Ich denke schon.
Das Ganze entsteht nämlich folgendermaßen.
Angenommen wir haben einen Erhaltungssatz [mm] $u_t+f(u)_x=0$ [/mm] gegeben mit $u [mm] \in L^{\infty}(\mathbb{R}\times \mathbb{R_+}$. [/mm] f sei dabei stetig diffbar. Nun werde der Halbraum [mm] $\mathbb{R}\times \mathbb{R_+}$ [/mm] durch die entsprechende Kurve in zwei Teile aufgeteilt. In diesen beiden Raumteilen sei $u$ eine klassische Lösung des Erhaltungssatzes, die sich stetig diffbar auf die Kurve fortsetzen lässt.
Sei [mm] $\phi$ [/mm] eine Testfunktion wie oben mit kompaktem Träger.
Dann entsteht die von mir genannte Ungleichung durch partielle Integration der Formel
[mm] $0=\int_{\mathbb{R_+}}\int_{\mathbb{R}}u \phi_t+f(u) \phi_x [/mm] dxdt$.
Wobei hier jetzt ein Gleichheitszeichen anstelle des vorigen [mm] $\geq$ [/mm] steht. Daraus erhält man dann die Rankine-Hugoniot Bedingung.
>Und [mm]\phi[/mm] müsste dann konsequenter Weise auch eine
> [mm]C^{1}[/mm] Funktion auf [mm]\Gamma[/mm] sein, und du integrierst [mm]f*\phi[/mm]
> über [mm]\Gamma[/mm].
> Im Wesentlichen hast du ein Integral
> [mm]\int_{\mathbb{R}_{+}}hg dt[/mm], mit Funktionen
> [mm]h:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}, g:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+}[/mm],
> wobei g beliebig [mm]C^{1}[/mm] ist mit kompaktem Träger (das
> fordert man, um sicher zu gehen dass das Integral
> existiert).
>
> > Hallo,
> >
> > die Frage leitet sich so ein bisschen aus dem Zusammenhang
> > der Rankine-Hugoniot Bedingung und schwachen Lösungen von
> > Erhaltungssätzen her.
> > Ich seh noch nicht so ganz ein, warum der Integrand
> > nichtnegativ sein soll, wenn das Integral nichtnegativ ist.
> > Zunächst einmal ist [mm]\phi[/mm] sowieso nichtnegativ. Weiterhin
> > muss man wohl die Stetigkeit von allem und den kompakten
> > Träger ausnutzen.
> > Ich stelle mir das ganze bisher so vor: An irgendeinem
> > Punkt auf der Kurve ([mm]\sigma(t_0),t_0)[/mm] muss der Integrand
> > positiv sein (oder er ist überall Null), da das Integral
> > sonst nicht [mm]\geq 0[/mm] sein könnte.
> > Angenommen also der Integrand ist nicht überall Null.
> > Da [mm]\phi[/mm] beliebig ist, könnte man den Träger von [mm]\phi[/mm] um
> > diesen Punkt auf der Kurve legen. Aufgrund der Stetigkeit
> > des Integranden, existiert nun ein beliebig kleiner
> > Durchmesser der Trägermenge von [mm]\phi[/mm], sodass die
> > Funktionswerte des Integranden nur noch beliebig wenig von
> > dem positiven Wert an der Stelle mit [mm]t_0[/mm] abweichen (z.B.
> > wähle man als [mm]\varepsilon[/mm] die Hälfte des positiven Werts
> > des Integranden bei [mm]t_0[/mm] und findet ein entsprechendes
> > [mm]\delta[/mm] wg. der Stetigkeit).
> > Damit hätte ich die Behauptung schonmal für alle
> > Kurvebpunkte, die in der konstruierten Trägermenge liegen,
> > gezeigt. Sie gilt damit aber auch für alle Kurvenpunkte.
> > Denn angenommen an irgendeinem Kurvenpunkt ist
> > [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm], so kann man sich wie oben
> eine
> > Trägermenge konstruieren, in der alle Werte des
> > Integranden negativ wären und damit das ganze Integral.
> >
> > Ist das einigermaßen nachvollziehbar bzw. korrekt?
>
> Die Idee ist schon im Wesentlichen richtig, aber du hast es
> nicht ganz sauber ausgeführt. Der Punkt ist, dass es zu
> jeder [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung eine positive [mm]C^{1}[/mm] Funktion gibt,
> deren Träger in der [mm]\epsilon[/mm] - Umgebung liegt.
> Tatsächlich gibt es für beliebige Mannigfaltigkeiten
> solche Funktionen die sogar glatt sind (Dies führt auch zu
> der so wichtigen Zerlegung der 1 in der
> Differentialgeometrie).
> In deinem Fall ist einfach eine 1-dim Funktion gesucht,
> und als Standardbeispiel gibt es da die Funktion [mm]t\mapsto \begin{cases} exp(-\bruch{1}{t^{2}}), & t \leq 0 \\ 0, & t > 0 \end{cases}[/mm]
> (die man natürlich an die jeweilige Umgebung anpassen
> muss.
> Wenn deine Funktion h also in einem Punkt kleiner als Null
> ist, gibt es wegen der Stetigkeit eine Umgebung, in der sie
> überall kleiner als 0 ist (wie du ja schon erwähnt hast),
> und dann findet man zu dieser Umgebung eine positive
> Funktion g deren Träger ganz in der Umgebung liegt. Dann
> muss das Integral über gh aber auch kleiner als 0 sein.
>
>
> Beste Grüße,
> Berieux
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Do 05.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Im Halbraum [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm] sei eine Kurve
> > > [mm]\Gamma=\{(\sigma(t),t):t>0\}[/mm] mit [mm]\sigma[/mm] stetig
> > > differenzierbar gegeben. Die Funktion [mm]f[/mm] sei auf [mm]\Gamma[/mm]
> > > stetig. Ist [mm]\phi[/mm] eine beliebige stetig differenzierbare,
> > > nichtnegative Funktion mit kompaktem Träger in [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm]
> > > und gilt
> > > [mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dS \geq 0[/mm]
> > > für alle solche [mm]\phi \in C^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)[/mm]
> > > mit kompaktem Träger,
> > > so folgt [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm]. Warum?
> >
> > Also das Integral ist komisch notiert. Ich denke es soll
> > [mm]\int_{\mathbb{R}_+} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dt \geq 0[/mm]
> > heißen?
>
> Eigentlich sollte man das Integral so notieren:
> [mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(x,t)\phi(x,t) dS(x,t) \geq 0[/mm].
>
> Macht das mehr Sinn??? Ich denke schon.
Nein, eigentlich nicht. [mm]\Gamma [/mm] ist schließlich eine 1-dim Mannigfaltigkeit, die durch [mm]\psi:t\mapsto (\sigma (t), t)[/mm] parametrisiert ist. Dann ist [mm]\int_{\Gamma}f\phi = \int_{\mathbb{R}_{+}}\sigma '(t)f\circ \psi(t) \phi\circ \psi(t)dt[/mm].
Oder du integrierst doch über was 2-dimensionales?
> Das Ganze entsteht nämlich folgendermaßen.
> Angenommen wir haben einen Erhaltungssatz [mm]u_t+f(u)_x=0[/mm]
> gegeben mit [mm]u \in L^{\infty}(\mathbb{R}\times \mathbb{R_+}[/mm].
> f sei dabei stetig diffbar. Nun werde der Halbraum
> [mm]\mathbb{R}\times \mathbb{R_+}[/mm] durch die entsprechende Kurve
> in zwei Teile aufgeteilt. In diesen beiden Raumteilen sei [mm]u[/mm]
> eine klassische Lösung des Erhaltungssatzes, die sich
> stetig diffbar auf die Kurve fortsetzen lässt.
> Sei [mm]\phi[/mm] eine Testfunktion wie oben mit kompaktem Träger.
> Dann entsteht die von mir genannte Ungleichung durch
> partielle Integration der Formel
> [mm]0=\int_{\mathbb{R_+}}\int_{\mathbb{R}}u \phi_t+f(u) \phi_x dxdt[/mm].
>
Wie kommst du denn so auf das Kurvenintegral?
Wie dem auch sei. Die Antwort auf deine Ausgangsfrage ist im Wesentlichen in meinem ersten Post beantwortet, egal ob dein Integral 1 oder 2-dim ist.
> Wobei hier jetzt ein Gleichheitszeichen anstelle des
> vorigen [mm]\geq[/mm] steht. Daraus erhält man dann die
> Rankine-Hugoniot Bedingung.
>
> >Und [mm]\phi[/mm] müsste dann konsequenter Weise auch eine
> > [mm]C^{1}[/mm] Funktion auf [mm]\Gamma[/mm] sein, und du integrierst [mm]f*\phi[/mm]
> > über [mm]\Gamma[/mm].
> > Im Wesentlichen hast du ein Integral
> > [mm]\int_{\mathbb{R}_{+}}hg dt[/mm], mit Funktionen
> > [mm]h:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}, g:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+}[/mm],
> > wobei g beliebig [mm]C^{1}[/mm] ist mit kompaktem Träger (das
> > fordert man, um sicher zu gehen dass das Integral
> > existiert).
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > die Frage leitet sich so ein bisschen aus dem Zusammenhang
> > > der Rankine-Hugoniot Bedingung und schwachen Lösungen von
> > > Erhaltungssätzen her.
> > > Ich seh noch nicht so ganz ein, warum der Integrand
> > > nichtnegativ sein soll, wenn das Integral nichtnegativ ist.
> > > Zunächst einmal ist [mm]\phi[/mm] sowieso nichtnegativ. Weiterhin
> > > muss man wohl die Stetigkeit von allem und den kompakten
> > > Träger ausnutzen.
> > > Ich stelle mir das ganze bisher so vor: An irgendeinem
> > > Punkt auf der Kurve ([mm]\sigma(t_0),t_0)[/mm] muss der Integrand
> > > positiv sein (oder er ist überall Null), da das Integral
> > > sonst nicht [mm]\geq 0[/mm] sein könnte.
> > > Angenommen also der Integrand ist nicht überall Null.
> > > Da [mm]\phi[/mm] beliebig ist, könnte man den Träger von [mm]\phi[/mm] um
> > > diesen Punkt auf der Kurve legen. Aufgrund der Stetigkeit
> > > des Integranden, existiert nun ein beliebig kleiner
> > > Durchmesser der Trägermenge von [mm]\phi[/mm], sodass die
> > > Funktionswerte des Integranden nur noch beliebig wenig von
> > > dem positiven Wert an der Stelle mit [mm]t_0[/mm] abweichen (z.B.
> > > wähle man als [mm]\varepsilon[/mm] die Hälfte des positiven Werts
> > > des Integranden bei [mm]t_0[/mm] und findet ein entsprechendes
> > > [mm]\delta[/mm] wg. der Stetigkeit).
> > > Damit hätte ich die Behauptung schonmal für alle
> > > Kurvebpunkte, die in der konstruierten Trägermenge liegen,
> > > gezeigt. Sie gilt damit aber auch für alle Kurvenpunkte.
> > > Denn angenommen an irgendeinem Kurvenpunkt ist
> > > [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm], so kann man sich wie oben
> > eine
> > > Trägermenge konstruieren, in der alle Werte des
> > > Integranden negativ wären und damit das ganze Integral.
> > >
> > > Ist das einigermaßen nachvollziehbar bzw. korrekt?
> >
> > Die Idee ist schon im Wesentlichen richtig, aber du hast es
> > nicht ganz sauber ausgeführt. Der Punkt ist, dass es zu
> > jeder [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung eine positive [mm]C^{1}[/mm] Funktion gibt,
> > deren Träger in der [mm]\epsilon[/mm] - Umgebung liegt.
> > Tatsächlich gibt es für beliebige Mannigfaltigkeiten
> > solche Funktionen die sogar glatt sind (Dies führt auch zu
> > der so wichtigen Zerlegung der 1 in der
> > Differentialgeometrie).
> > In deinem Fall ist einfach eine 1-dim Funktion gesucht,
> > und als Standardbeispiel gibt es da die Funktion [mm]t\mapsto \begin{cases} exp(-\bruch{1}{t^{2}}), & t \leq 0 \\ 0, & t > 0 \end{cases}[/mm]
> > (die man natürlich an die jeweilige Umgebung anpassen
> > muss.
> > Wenn deine Funktion h also in einem Punkt kleiner als
> Null
> > ist, gibt es wegen der Stetigkeit eine Umgebung, in der sie
> > überall kleiner als 0 ist (wie du ja schon erwähnt hast),
> > und dann findet man zu dieser Umgebung eine positive
> > Funktion g deren Träger ganz in der Umgebung liegt. Dann
> > muss das Integral über gh aber auch kleiner als 0 sein.
> >
> >
> > Beste Grüße,
> > Berieux
>
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> > > Hallo!
> > >
> > > > Im Halbraum [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm] sei eine Kurve
> > > > [mm]\Gamma=\{(\sigma(t),t):t>0\}[/mm] mit [mm]\sigma[/mm] stetig
> > > > differenzierbar gegeben. Die Funktion [mm]f[/mm] sei auf [mm]\Gamma[/mm]
> > > > stetig. Ist [mm]\phi[/mm] eine beliebige stetig differenzierbare,
> > > > nichtnegative Funktion mit kompaktem Träger in [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+[/mm]
> > > > und gilt
> > > > [mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dS \geq 0[/mm]
> > > > für alle solche [mm]\phi \in C^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)[/mm]
> > > > mit kompaktem Träger,
> > > > so folgt [mm]\sigma'(t)f(\sigma(t),t)\geq 0[/mm]. Warum?
> > >
> > > Also das Integral ist komisch notiert. Ich denke es soll
> > > [mm]\int_{\mathbb{R}_+} \sigma'(t)f(\sigma(t),t)\phi(\sigma(t),t) dt \geq 0[/mm]
> > > heißen?
> >
> > Eigentlich sollte man das Integral so notieren:
> > [mm]\int_{\Gamma} \sigma'(t)f(x,t)\phi(x,t) dS(x,t) \geq 0[/mm].
>
> >
> > Macht das mehr Sinn??? Ich denke schon.
> Nein, eigentlich nicht. [mm]\Gamma[/mm] ist schließlich eine 1-dim
> Mannigfaltigkeit, die durch [mm]\psi:t\mapsto (\sigma (t), t)[/mm]
> parametrisiert ist. Dann ist [mm]\int_{\Gamma}f\phi = \int_{\mathbb{R}_{+}}\sigma '(t)f\circ \psi(t) \phi\circ \psi(t)dt[/mm].
>
> Oder du integrierst doch über was 2-dimensionales?
>
Nein, die Kurve ist wie angegeben nur von t abhängig. Wie, und das ist vielleicht eine dumme Frage, notiert man denn das Integral [mm] $\int_{\Gamma}f\phi$ [/mm] ganz formal, also mit Argumenten der Funktionen.
Schreib ich dann einfach [mm] $\int_{\Gamma}f\phi [/mm] dS(t)$, aber was packe ich bei f bzw. [mm] $\phi$ [/mm] als Argument rein? Ich kann da ja nicht einfach nur t reinschreiben, sondern doch wohl trotzdem noch (x,t) oder?. oder schreib ich bei dem S der Mannigfaltigkeit das [mm] $S(\sigma(t),t)$?
[/mm]
Hab das leider noch nicht so oft gemacht, deshalb diese vielleicht sehr simple Frage.mlich folgendermaßen.
Um mal zu der Situation zu kommen, die ich eigentlich beantwortet haben wollte, aber versucht habe es etwas zu vereinfachen. Man hat den Erhaltungssatz [mm] u_t+f(u)_x=0 [/mm] in [mm] $\Omega:=\mathbb{R}\times \mathbb{R_+}$. [/mm] Der Halbraum [mm] $\Omega$ [/mm] werde von besagtem [mm] $\Gamma$ [/mm] in zwei Bereiche, [mm] $\Omega_l, \Omega_r$ [/mm] geteilt. In diesen beiden Bereichen sei u jeweils eine klassische Lösung des Erhaltungssatzes und u sei stetig differenzierbar auf die Ränder dieser Bereiche fortsetzbar. Dann folgt für eine beliebige Testfunktion [mm] $\phi \in C^{\infty}_0(\mathbb{R} \times (0,\infty)) [/mm] aus der Gültigkeit von
[mm] $0=\iint_{R \times R_+}u \phi_t [/mm] + f(u) [mm] \phi [/mm] x dx dt$
mittels des Satzes von Gauß die Gleichung
[mm] $0=\int_{\Gamma}c(f(u_l)-f(u_r)-\sigma'(t)(u_l-u_r))\phi [/mm] dS$,
dabei ist c eine Normierungskonstante des Normaleneinheitsvektors und [mm] $u_l, u_r$ [/mm] die stetigen Fortsetzungen von u auf der jeweiligen Menge [mm] $\Omega_l/r$. [/mm] Das ist soweit erstmal richtig. Daraus wird nun gefolgert:
[mm] 0=f(u_l(\sigma(t),t))-f(u_r(\sigma(t),t))-\sigma'(t)(u_l(\sigma(t),t)-u_r(\sigma(t),t)) [/mm] für alle t>0.
Nun wurde bei der Integration jeweils das Argument von u weggelassen. Was steht also streng genommen in dem letzten Kurvenintegral?
Sowas:
[mm] \int_{\Gamma}c(f(u_l(x,t))-f(u_r(x,t))-\sigma'(t)(u_l(x,t)-u_r(x,t)))\phi(x,t) [/mm] dS?
(Leider viel Gerede für eine so lächerliche Frage, sorry.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 08.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
