Integration: gebrochenr. Funkt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Di 09.02.2010 | | Autor: | Tizian |
| Aufgabe | | Bilden sie eine Stammfunktion von f(x). |
[mm] f(x)=\bruch{3*x^{2}-5*x}{3*x-9}
[/mm]
Wir hatten die Idee die Stammfunktion mithilfe von Substitution und partieller Integration zu lösen, kamen aber nicht weiter, da wir nicht wussten, was wir substituieren sollen und auch nicht wussten, inwiefern die partielle Integration nützlich sein könnte.
Wir würden uns über einen Lösungshinweis freuen.
Vielen Dank!
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> Bilden sie eine Stammfunktion von f(x).
> [mm]f(x)=\bruch{3*x^{2}-5*x}{3*x-9}[/mm]
Hallo,
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}*\bruch{3*x^{2}-5*x}{x-3}
[/mm]
Macht nun erstmal eine Polynomdivision.
Man erhält [mm] f(x)=\bruch{1}{3}* [/mm] (schönes Polynom + [mm] \bruch{...}{x-3}), [/mm] und davon die Stamfunktion zu finden, ist nicht schwer.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 09.02.2010 | | Autor: | Tizian |
Wenn ich eine Polynomendivision durchführe:
[mm] (3*x^{2}-5*x):(x-3)=3*x+4+/bruch{12}{x}...
[/mm]
das geht nicht auf?!?
Gibt es da noch eine andere Form der Polynomendivision, die man als 12. Klässler evt. nicht kennt?
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> Wenn ich eine Polynomendivision durchführe:
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> [mm](3*x^{2}-5*x):(x-3)=3*x+4+\bruch{12}{x}...[/mm]
> das geht nicht auf?!?
>
>
> Gibt es da noch eine andere Form der Polynomendivision, die
> man als 12. Klässler evt. nicht kennt?
Hallo,
na! 12.Klässler können doch schon teilen mit Rest, daß 17:3=5 Rest 2 ist oder, für Fortgeschrittene [mm] 17:3=5+\bruch{2}{3}, [/mm] wissen sie.
Genauso geht's bei der Polynomdivison auch.
(Selbst, wenn's #ne andere Art der Polynomdivision gäbe, sollten die Ergebnisse ja übereinstimmen.)
Es ist [mm] (3*x^{2}-5*x):(x-3)= [/mm] 3x+4 Rest 12, also [mm] (3*x^{2}-5*x):(x-3)= [/mm] 3x+4 [mm] +\bruch{12}{x-3}.
[/mm]
Und diese Funktion könnt Ihr nun integrieren, der Bruch geht mit dem Logarithmus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 09.02.2010 | | Autor: | Tizian |
"Und diese Funktion könnt Ihr nun integrieren, der Bruch geht mit dem Logarithmus."
wir wissen nicht direkt, wie wir [mm] \bruch{12}{(x-3)}integrieren [/mm] können.
Erhöhen wir den Zähler um 1, landen wir bei 0?!? Und [mm] x^{0} [/mm] ist immer 1???
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Hallo Tizian!
Die erwähnte  Potenzregel mit [mm] $\integral{x^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n+1}*x^{n+1}+c$ [/mm] gilt nur für $n \ [mm] \not= [/mm] \ -1$ !
In Deinem Falle musst Du anwenden:
[mm] $$\integral{z^{-1} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln|z|+c$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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