Integration linearer Gleichung < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
| Aufgabe | Löse die erste Gleichung mittels Integration nach v(t) und bestimme so die zweite Gleichung.
1. dv(t)/dt = a-b*v(t)
2. dx(t)/dt = v(t)
wobei a und b Konstanten sind. |
Hallo, ich habe das Problem, dass ich überhauptnicht weiß wie ich das integrieren kann, da ich ja das Integral von v(t) dt nicht bestimmen kann....habe erst gedacht über Trennung der Variablen,aber klappt nicht bei mir.
Kann mir bitte jemand weiter helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Löse die erste Gleichung mittels Integration nach v(t) und
> bestimme so die zweite Gleichung.
>
> 1. dv(t)/dt = a-b*v(t)
> 2. dx(t)/dt = v(t)
>
> wobei a und b Konstanten sind.
> Hallo, ich habe das Problem, dass ich überhauptnicht
> weiß wie ich das integrieren kann, da ich ja das Integral
> von v(t) dt nicht bestimmen kann....habe erst gedacht über
> Trennung der Variablen,aber klappt nicht bei mir.
> Kann mir bitte jemand weiter helfen?
Die erste Gleichung $v'(t) = -bv(t)+a$ ist eine inhomoge lineare DGL 1. Ordnung.
Dafür hast Du sicher Lösungsmethoden kennengelernt !!!
( bestimme die allg. Lösung der zugeh. homogenen Gleichung, bestimme eine spezielle Lösung der inhom. Gl. , ......)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
ach mist, die erste Gleichung lautet dv(t)/dt = a*b-b*v(t)...tut mir leid, hatte das b vergessen....
hab jetzt mal versucht das zu lösen...
dv/dt=b*(a-v)
[mm] \integral_{}^{}{1/(a-v) dv}=b*\integral_{}^{}{dt}
[/mm]
ln(a-v)=b*t+ln(C)
ln(a-v/C)=b*t
[mm] a-v=e^{b*t}*C
[/mm]
[mm] v(t)=-e^{b*t}*C+a [/mm] ?????
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Hallo az118,
> ach mist, die erste Gleichung lautet dv(t)/dt =
> a*b-b*v(t)...tut mir leid, hatte das b vergessen....
> hab jetzt mal versucht das zu lösen...
>
> dv/dt=b*(a-v)
> [mm]\integral_{}^{}{1/(a-v) dv}=b*\integral_{}^{}{dt}[/mm]
>
> ln(a-v)=b*t+ln(C)
Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen:
[mm]\red{-}\ln\left(a-v\right)=b*t+\ln\left(C\right)[/mm]
> ln(a-v/C)=b*t
> [mm]a-v=e^{b*t}*C[/mm]
> [mm]v(t)=-e^{b*t}*C+a[/mm] ?????
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Wo kommt das "-" jetzt her?
Wenn ich jetzt noch die Anfangsbedingung v(t=0)=v0 gegeben habe, ist C dann v0???
Ist die Gleichung sonst richtig gelöst? War mir nicht sicher ob das geht da v ja von t abhängt?
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Hallo az118,
> Wo kommt das "-" jetzt her?
Differenziere Deine Stammfunktion
[mm]\ln\left(a-v\right)[/mm]
Dann wirst Du sehen, daß das
[mm]\bruch{-1}{a-v}[/mm]
ergibt. Demnach bis auf das Vorzeichen das Gewünschte.
> Wenn ich jetzt noch die Anfangsbedingung v(t=0)=v0 gegeben
> habe, ist C dann v0???
Nein, die Anfangsbedinung musst Du wirklich in die Lösung der DGL
einsetzen um die Konstante C herauszubekommen.
> Ist die Gleichung sonst richtig gelöst? War mir nicht
> sicher ob das geht da v ja von t abhängt?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Achja stimmt.
also v(t=0)=C+a
und a hab ich noch gegeben als a=v_max(t)*L wobei L eine gegebene Strecke ist und v_max eine gegebene Maximalgeschwindigkeit,also Konstanten.Allerdeings weiß ich nun nicht was C ist da ja v0=C+a ist, wäre C=v0-a???
dann setze ich v(t) in die zweite Gleichung ein und muss nochmal integrieren.Wäre das dann [mm] x(t)=a*t+C*e^{b*t} [/mm] ???
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Hallo az118,
> Achja stimmt.
> also v(t=0)=C+a
> und a hab ich noch gegeben als a=v_max(t)*L wobei L eine
> gegebene Strecke ist und v_max eine gegebene
> Maximalgeschwindigkeit,also Konstanten.Allerdeings weiß
> ich nun nicht was C ist da ja v0=C+a ist, wäre C=v0-a???
Ja.
>
> dann setze ich v(t) in die zweite Gleichung ein und muss
> nochmal integrieren.Wäre das dann [mm]x(t)=a*t+C*e^{b*t}[/mm] ???
Die Lösung für v(t) lautet doch:
[mm]v\left(t\tight)=\left(v_{0}-a\right)*e^{-b*t}+a[/mm]
Wenn Du das nochmal integrierst, kommt eben noch eine Konstanten hinzu:
[mm]x\left(t\right)=\integral_{}^{}{\left( \ \left(v_{0}-a\right)*e^{-b*t}+a \ \right)\ dt}+C_{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Ok dann hab ich jetzt:
[mm] v(t)=e^{b*t}*(v0-a)+a
[/mm]
und
[mm] x(t)=e^{b*t}*(v0-a)*t+a*t+x0 [/mm] ????
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Hallo az118,
> Ok dann hab ich jetzt:
>
> [mm]v(t)=e^{b*t}*(v0-a)+a[/mm]
Ich schrieb:
[mm]v(t)=e^{\blue{-}b*t}*(v0-a)+a[/mm]
>
> und
>
> [mm]x(t)=e^{b*t}*(v0-a)*t+a*t+x0[/mm] ????
Das stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Ok hab nochmal nach gerechnet, müsste das dann nicht [mm] v(t)=-e^{-b*t}*(v0-a)+a [/mm] lauten?
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Hallo az118,
> Ok hab nochmal nach gerechnet, müsste das dann nicht
> [mm]v(t)=-e^{-b*t}*(v0-a)+a[/mm] lauten?
Nein, denn die Anfangsbedingung [mm]v\left(t=0\right)=v_{0}[/mm] ist nicht erfüllt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Warum ist die nicht erfüllt? Also stimmt die Gleichung jetzt doch nicht?
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Hallo az118,
> Warum ist die nicht erfüllt? Also stimmt die Gleichung
> jetzt doch nicht?
Die Gleichung
[mm]v(t)=-e^{-b\cdot{}t}\cdot{}(v0-a)+a[/mm]
erfült die Anfangsbedingung nicht.
Hier ist [mm]v(t=0)=-e^{-b\cdot{}0}\cdot{}(v0-a)+a=-\left(v0-a)-a=-v0[/mm]
Die Gleichung muss daher lauten:
[mm]v(t)=\red{+}e^{-b\cdot{}t}\cdot{}(v0-a)+a [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Und dann ist x(t)=-1/b [mm] *e^{-b*t}*(v0-a)*t+a*t+x0 [/mm] ???
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Hallo az118,
> Und dann ist x(t)=-1/b [mm]*e^{-b*t}*(v0-a)*t+a*t+x0[/mm] ???
Wo kommt plötzlich das blaue "t" her?
[mm]x(t)=-1/b *e^{-b*t}*(v0-a)*\blue{t}+a*t+x0[/mm]
Ohne das blaue "t" stimmt x(t).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Achja das ist ja eine Konstante.
Aber dann stimmt ja jetzt die Anfangsbedingung wieder nicht mehr, x(t)=x0?
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Hallo az118,
> Achja das ist ja eine Konstante.
> Aber dann stimmt ja jetzt die Anfangsbedingung wieder
> nicht mehr, x(t)=x0?
Das ist richtig.
Bestimme deshalb die Konstante so,
daß die Anfangsbedingung x(t=0)=x0 erfüllt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
dann ist x(t)=-1/b [mm] *e^2{-b*t}*(v0-a)+a*t+x0+1/b [/mm] *(v0-a) ?
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Hallo az118,
> dann ist x(t)=-1/b [mm]*e^2{-b*t}*(v0-a)+a*t+x0+1/b[/mm] *(v0-a) ?
So ist's richtig:
[mm]x(t)=-1/b *e^{-b*t}*(v0-a)+a*t+x0+1/b*(v0-a) [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mo 31.05.2010 | | Autor: | az118 |
Oh ich hatte mich verschrieben. Danke.
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