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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Fr 12.02.2010 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | | Integriere [mm] \integral_{-2}^{-1}{\bruch{\wurzel{x^2-1}}{x^3} dx} [/mm] |
Hallo,
falls neben einer Wurzel vom Typ [mm] \wurzel{x^2-1} [/mm] sonst nur ungerade x-Exponenten vorkommen, sollen wir stets die Wurzel substituieren (anderenfalls über Winkelfunktionen).
Also: [mm] t=\wurzel{x^2-1}
[/mm]
Führt zu:
[mm] \integral_{\wurzel{3}}^{0}{\bruch{t^2}{(t^2+1)^2} dt}
[/mm]
Und nun? Vermutlich wird da irgendwas mit arctan rauskommen, aber mich stören das t im Zähler und vor allem das Quadrat noch...
Kann mir da einer einen Ansatz nennen?
Danke!
Edit:
Idee:
Zerlegen in 1/(t²+1)-1/(t²+1)². Das liefert mir links ein bekanntes Integral, rechts immerhin eine 1 im Zähler. Für rechts wird mir dann wohl oder übel nur Partialbruchzerlegung übrig bleiben, oder kann man da auch schon was sehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Fr 12.02.2010 | | Autor: | gfm |
x=sinh t müßte auf was in der Form f'g(f), oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:17 Fr 12.02.2010 | | Autor: | oli_k |
Nene, ich sagte doch ohne Winkelfunktionen ;)
Das geht bei ungeraden Potenzen auch so! Bin ja auch fast fertig, wundere mich nur, ob ich im letzten Schritt (siehe "Edit") noch was einfacher machen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:17 Fr 12.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Integriere [mm]\integral_{-2}^{-1}{\bruch{\wurzel{x^2-1}}{x^3} dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> falls neben einer Wurzel vom Typ [mm]\wurzel{x^2-1}[/mm] sonst nur
> ungerade x-Exponenten vorkommen, sollen wir stets die
> Wurzel substituieren (anderenfalls über
> Winkelfunktionen).
>
> Also: [mm]t=\wurzel{x^2-1}[/mm]
>
> Führt zu:
> [mm]\integral_{\wurzel{3}}^{0}{\bruch{t^2}{(t^2+1)^2} dt}[/mm]
>
> Und nun? Vermutlich wird da irgendwas mit arctan
> rauskommen, aber mich stören das t im Zähler und vor
> allem das Quadrat noch...
>
> Kann mir da einer einen Ansatz nennen?
Ich würde schreiben
[mm] \bruch{t^2}{(t^2+1)^2} = t* \bruch{t}{(t^2+1)^2} [/mm]
und dann partiell integrieren.
>
> Danke!
>
> Edit:
> Idee:
> Zerlegen in 1/(t²+1)-1/(t²+1)². Das liefert mir links
> ein bekanntes Integral, rechts immerhin eine 1 im Zähler.
> Für rechts wird mir dann wohl oder übel nur
> Partialbruchzerlegung übrig bleiben, oder kann man da auch
> schon was sehen?
Wie willst du denn beim zweiten Term eine Partialbruchzerlegung machen? Deine Summe ist schon die Partialbruchzerlegung des Integranden.
Viele Grüße
Rainer
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