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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:12 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Ein Wassertank wurde durch Rotation der Kurve [mm] y=kx^{4}, [/mm] k>0 um die y-Achse erzeugt.
a) Berechnen Sie das Volumen des Wassers V(y) in Abhängigkeit von der Wassertiefe y. |
Hallo
Wie man sieht eine vermeintlich leichte Aufgabe. Ich hab leider einen Hänger!
Glücklicherweise haben wir die Volumensformel um die x-Achse schon in der Forlesung umgestellt und es steht im Skript:
Rotation um die y-Achse
.
.
.
V = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{x^{2}f'(x) dx}
[/mm]
Ich hoffe das ist auch richtig.
Mathematisch exakt wäre wohl, die Grenzen von y bis (y-h) laufen zu lassen um eine komplette Abhängigkeit von y zu haben.(Denke ich mal)
Ich machs mir aber in dem Falle einfach und sage einfach das Integral geht von 0 bis (-y)
also:
f'(x) = [mm] 4kx^{3}
[/mm]
und somit
[mm] \pi \integral_{-y}^{0}{x^{2}4kx^{3} dx}
[/mm]
weitere Umformung etc.
[mm] \pi \integral_{-y}^{0}{x^{2}4kx^{3} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\pi*k*y^{6}
[/mm]
ist aber falsch glaube ich
vermutlich liegt der Fehler schon im Aufstellen des Integrals.
Kann mir da einer nen Tip geben? Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 05.06.2006 | | Autor: | mateusz |
ich kenne die rotation um die y-achse nur mit der umkehrfunktion: [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}({f^-¹(x))^2 dx}
[/mm]
gruß mateusz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Di 06.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Tequila,
diese Volumen-Formel muss ich einfach mal so hinnehmen, sie ist mir unbekannt. Ich hätte - wie mateusz - die Umkehrfunktion gebildet und wäre dann um die x-Achse rotiert. ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]") 
Aber wenn ich sie so als gegeben hinnehme, so sind mir die Grenzen suspekt:
Der Tiefpukt des Wassertanks liegt im Ursprung, die Wasser"tiefe" ist also ein positives y, also von 0 bis +y, oder...?
Aber integriert wird nach dx - da macht es doch keinen Sinn y-Werte für die Grenzen einzusetzen, sondern vielleicht eher die zu den y-Werten gehörenden x-Werte? Also vielleicht von $x=0$ bis [mm] $x=\wurzel[4]{\bruch{y}{k}}$ [/mm] ?
Damit wären wir dann auch wieder irgendwie bei der Umkehrfunktion...
Aber wie gesagt, mir ist die Formel nicht geläufig, somit auch nicht, wie sie korrekt anzuwenden ist, daher nur rohe, unvollendete Gedanken...
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 20.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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