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| Aufgabe 1 | | [mm] (x^2+2x-2)/((x-1)(x^2+1)) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] 1/(x^2+x^4) [/mm] |
Hi,
also in der Schule haben wir gelernt, wie wir solche Funktionen durch Partialbruchzerlegung integrieren können. Als Beispiel hatten wir da aber [mm] f(x)=(6x^2-x+1)/(x^3-x).
[/mm]
Da war das einfach, weil der Nenner in 3 Faktoren zerlegt werden kann und man im Verlauf quasi jedem Summanden im Zähler einem Faktor im Nenner 'zuordnen' kann.
Meine Frage ist nun, wie das bei den 2 Aufgaben funktioniert, die ich gepostet habe, denn da lässt sich da so nicht ohneweiteres anstellen...?
Wär echt klasse, wenn mir jemand wenigstens eine der beiden mal vorrechnen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
thx schonmal
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Hallo forgot_it_all!
Es gilt hier:
[mm] $$\bruch{x^2+2x-2}{(x-1)*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B*x+C}{x^2+1}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\bruch{1}{x^2+x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C*x+D}{1+x^2}$$
[/mm]
Siehe dazu auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß vom
Roadrunner
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Ja okay, danke schonmal soweit, aber ich komm damit trotzdem noch zu keinem Ergebnis. Bei der ersten Aufgabe komme ich dann auf A=1/2, B=1/2 und C=5/2. Dann hab ich aber noch das Problem,
dass ich [mm] x/(2*(x^2+1)) [/mm] integrieren muss?!
Und bei der 2. Aufgabe würde mich da mal noch interessieren, wie ich dann ein Gleichungssystem aufstellen soll für a,b,c und d?!
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Hallo forgot_it_all!
Das sieht doch ganz gut aus.
> Ja okay, danke schonmal soweit, aber ich komm damit
> trotzdem noch zu keinem Ergebnis. Bei der ersten Aufgabe
> komme ich dann auf A=1/2, B=1/2 und C=5/2. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann hab ich aber noch das Problem,
>
> dass ich [mm]x/(2*(x^2+1))[/mm] integrieren muss?!
Ich nehme an, Du kannst Substitution? Dann ersetze mal [mm] u=x^2+1.
[/mm]
Schwieriger ist eigentlich [mm] \int{\bruch{1}{x^2+1}\ dx}=\arctan{x}
[/mm]
> Und bei der 2. Aufgabe würde mich da mal noch
> interessieren, wie ich dann ein Gleichungssystem aufstellen
> soll für a,b,c und d?!
Naja, es ist also
[mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}\left(1+x^2\right)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C\cdot{}x+D}{1+x^2}
[/mm]
Du bringst die rechte Seite auf den Hauptnenner (der linken Seite), und führst im Zähler einen Koeffizientenvergleich durch. [mm] x^3,\ x^2 [/mm] und x dürfen ja nicht auftauchen, ihr Koeffizient muss also jeweils 0 sein. Und das absolute Glied muss 1 sein. Damit hast Du vier Gleichungen für vier Variable.
Grüße
reverend
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