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Hallo,
ich habe das folgene Integral zu berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x^2)*2x dx}
[/mm]
So, die Stammfunktion zu [mm] f(x)=sin(x^2)*2x [/mm] ist [mm] F(x)=-cos(x^2)+C
[/mm]
Wenn ich das Integral jetzt ausrechne kriege ich:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x^2)*2x dx}=F(\pi)-F(0)=-cos(\pi^2)+1=1,90FE
[/mm]
So meine Frage ist aber jetzt: Die Funktion [mm] f(x)=sin(x^2)*2x [/mm] hat zwischen den Grenzen 0 und pi doch 3 Nullstellen. Muss man die hier nicht beachten??
Und wenn ja, wie berechnet man eigentlich jetzt [mm] sin(x^2)*2x [/mm] =0??
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe das folgene Integral zu berechnen:
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> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(x^2)*2x dx}[/mm]
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> So, die Stammfunktion zu [mm]f(x)=sin(x^2)*2x[/mm] ist
> [mm]F(x)=-cos(x^2)+C[/mm]
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> Wenn ich das Integral jetzt ausrechne kriege ich:
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> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(x^2)*2x dx}=F(\pi)-F(0)=-cos(\pi^2)+1=1,90FE[/mm]
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> So meine Frage ist aber jetzt: Die Funktion
> [mm]f(x)=sin(x^2)*2x[/mm] hat zwischen den Grenzen 0 und pi doch 3
> Nullstellen. Muss man die hier nicht beachten??
Wenn Du "nur" das Integral berechnen sollst, mußt Du die Nullstellen nicht beachten
Ich vermute, dass Du einen Flächeninhalt ausrechnen sollst. Dann mußt Du Dir vorher überlegen, in welchen Intervallen der Graph oberhalb bzw. unterhalb der x- Achse verläuft.
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> Und wenn ja, wie berechnet man eigentlich jetzt [mm]sin(x^2)*2x[/mm]
> =0??
Für x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]:[/mm] [mm]sin(x^2)*2x=0[/mm] [mm] \gdw [/mm] x=0 oder [mm] sin(x^2)=0 \gdw [/mm] x=0 oder [mm] x^2= \pi [/mm] oder [mm] x^2= [/mm] 2 [mm] \pi \gdw [/mm] x=0 oder x= [mm] \wurzel{\pi} [/mm] oder x= [mm] \wurzel{2 \pi} [/mm]
FRED
>
> Grüße
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Was ist denn der Unterschied, wenn ich einfach das Integral ausrechne oder wenn ich die Nullstellen beachte? also wann verläuft f oberhalb und wann unterhalb der x-Achse??
Weil ich habe gerade mal mit dem Taschenrechner nachgeprüft, auch so würde ich auf einen Flächeninhalt von 1,90 kommen...
Wo liegt denn jetzt der Unterschied?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Was ist denn der Unterschied, wenn ich einfach das Integral
> ausrechne oder wenn ich die Nullstellen beachte? also wann
> verläuft f oberhalb und wann unterhalb der x-Achse??
>
> Weil ich habe gerade mal mit dem Taschenrechner
> nachgeprüft, auch so würde ich auf einen Flächeninhalt
> von 1,90 kommen...
>
> Wo liegt denn jetzt der Unterschied?
Ich versuchs mal mit g(x):= sin(x)
1. Aufgabe: Berechne [mm] \integral_{0}^{2\pi}{g(x) dx}
[/mm]
Lösung: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{g(x) dx}=0
[/mm]
2. Aufgabe: bestimme den Flächeninhalt der Flächhe die vom Graph von f und der x - Achse eingeschlossen wird (x [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
Lösung (mach Dir ein Bild !!):
Flächeninhalt = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|g(x)| dx}= \integral_{0}^ {\pi}{g(x) dx}- \integral_{\pi}^{2 \pi}{g(x) dx}= [/mm] 4
FRED
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Ok
das sehe ich ein. Und wieso kommt in meiner Aufgabe in beiden Fällen 1,90 heraus?
Ist das Zufall??
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Hallo, hast du die Vorzeichen beachtet, du hast folgende Intervalle
(1) von 0 bis [mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
(2) von [mm] \wurzel{\pi} [/mm] bis [mm] \wurzel{2\pi}
[/mm]
(3) von [mm] \wurzel{2\pi} [/mm] bis [mm] \wurzel{3\pi}
[/mm]
(4) von [mm] \wurzel{3\pi} [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
(1) und (3) liegen oberhalb der x-Achse
(2) und (4) liegen unterhalb der x-Achse
möchtest du die Fläche berechnen, so setze Betragsstriche
(1), (2) und (3) haben jeweils 2FE, (4) hat rund 0,1 FE
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mo 05.12.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hmmm,
achso. Ist zwar komisch, aber ok.
Weil man TR mir wie gesagt, den Bereich von [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x^2)\cdot{}2x dx} [/mm] auch markiert hat und dabei auch auf 1,90FE kam.
Aber trotzdem danke.
Grüße
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