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Forum "Uni-Analysis" - Integration über Vektorprodukt
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Integration über Vektorprodukt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Di 12.07.2005
Autor: libero

Hallo.
Ich habe folgendes Problem: Ich habe die Formel (für die Lorentzkkraft):
[mm]\vec{F} = \bruch{1}{c}\integral{\vec{j}\times\vec{B}d^3 r}[/mm]

Nun bin ich in meiner Rechnung soweit, dass ich (in Kugelkoordinaten) für B den Einheitsvektor in z-Richtung einsetzen kann und für j einen den Einheitsvektor in Richtung des Radius, bzw. negativ (der Vektor zeigt also von der Oberfläche der Kugel zum Zentrum).

[mm]\integral{\vec{e}_r \times \vec{e}_z}[/mm]

Eingesetzt habe ich nun folgendes:

[mm]\integral{\vektor{\cos\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \\ \cos\theta} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} d^3 r}[/mm]

das ergibt (in Kugelkoordinaten) für z.B. die x-Komponente:

[mm]\integral_0^{2\pi}{\sin\phi d\phi} . . .[/mm]

Und hier wird das Problem schon klar: Die phi-Komponente ist integriert immer 0, damit wird der Ergebnis-Vektor (also das Integral) der Nullvektor.

Was mache ich falsch?

Gruß,
Michael

        
Bezug
Integration über Vektorprodukt: worüber integriert?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Di 12.07.2005
Autor: leduart

Hallo.
>  Ich habe folgendes Problem: Ich habe die Formel (für die
> Lorentzkkraft):
>  [mm]\vec{F} = \bruch{1}{c}\integral{\vec{j}\times\vec{B}d^3 r}[/mm]

Welche Lorentzkraft soll das sein? worüber (Kurve, Oberfläche, Volumen) wird hier integriert  

> Nun bin ich in meiner Rechnung soweit, dass ich (in
> Kugelkoordinaten) für B den Einheitsvektor in z-Richtung
> einsetzen kann und für j einen den Einheitsvektor in
> Richtung des Radius, bzw. negativ (der Vektor zeigt also
> von der Oberfläche der Kugel zum Zentrum).
>  
> [mm]\integral{\vec{e}_r \times \vec{e}_z}[/mm]
>  
> Eingesetzt habe ich nun folgendes:
>  
> [mm]\integral{\vektor{\cos\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \\ \cos\theta} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} d^3 r}[/mm]
>  
> das ergibt (in Kugelkoordinaten) für z.B. die
> x-Komponente:
>  
> [mm]\integral_0^{2\pi}{\sin\phi d\phi} . . .[/mm]
>  
> Und hier wird das Problem schon klar: Die phi-Komponente
> ist integriert immer 0, damit wird der Ergebnis-Vektor
> (also das Integral) der Nullvektor.

wenn du integrierst ja auch über je 2 entgegengesetze j  da muss doch 0 rauskommen!

> Was mache ich falsch?

Vielleicht kann ichs erklären, wenn ich weiss, von was das die Lorentzkraft sein soll.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Integration über Vektorprodukt: Erklärung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:18 Mi 13.07.2005
Autor: libero

Hallo leduart!
Es geht um folgendes:

"Ein kugelförmiger Luftballon trage auf der Oberfläche die elektrische Ladung Q in homogener Verteilung. Der Ballon schwebt in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld (das Magnetfeld habe den Betrag B und zeige in Richtung der z-Achse).
Der Ballon schrumpft nun zusammen, und zwar auf die Hälfte seines ursprünglichen Radius in der Zeit T. Der Ballon beginnt sich zu drehen."

Nachdem man hier Ladungs- und Stromdichte angeben soll, soll man die auftretende Lorentzkraft (und danach das Drehmoment) berechnen.

Die Ladungsdichte hab ich mit Hilfe der Delta-Distribution angegeben und der Vektor der Stromdichte zeigt in Richtung [mm]-\vec{e}_r[/mm].

Die Formel [mm]\vec{F} = \bruch{1}{c}\integral\integral\integral{\vec{j}\times\vec{B}dV}[/mm] (Volumenintegral) wurde hier als Hilfe angegeben.

Ich hoffe, das macht meine Situation im Ausgangsposting etwas klarer :-)
Wenn ich mir das bildlich vorstelle wird mir klar, dass und wie sich der Ballon drehen muss. Aber die Berechnung klappt nicht...

Gruß,
Michael

Bezug
        
Bezug
Integration über Vektorprodukt: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Mi 13.07.2005
Autor: Toellner

hallo,

Du hast Kraftelemente dF = jdr³x B, die als Vektorfeld tangetial zur Kugeloberfläche zeigen (sozusagen in Ost-West-Richtung, wenn die z-Komponente die Nordrichtung ist): Wenn Du also über 2pi integrierst, kommt natürlich 0 raus (dF auf der einen Seite ist -dF gegenüber).
Anders beim ddifferentiellen Drehmoment dT = r x dF: Wenn Du darüber integrierst, müsste es klappen!
Frage: Du hast berücksichtigt, dass beim "Schrumpfen" der Kugel sich die Ladungsdichte erhöht?
Grüße, R

Bezug
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