Integration von 1/(x^2-1) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
hab mal ne frage zur Integration von [mm] f(x)=1/(x^2-1).
[/mm]
habs mit partialbruchzerlegung,polynomdivision ,substitutuion, etc... probiert. die lösung is mir bekannt, jedoch verstehe ich den rechenweg nicht. (0,5*log[1-x]-0,5*log[1+x])
komme einfach net weiter, und bitte daher freundlichst um hilfe.
mfg, shogtunpete
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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Hallo, ShotgunPete,
WAS am Rechenweg verstehst Du nicht -
die Partialbruchzerlegung oder die Integration der 0,5/(1-x) und -0,5/(1+x) ?
Gruß F.
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hi
bin mir bei beidem nicht sicher wie das in dem falle richtig gemacht wird.
stimmt das das aus [mm] \bruch{1}{x^2-1} [/mm] => [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x-1}wird [/mm] ?
daraus ergibt sich dann [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+1} * \bruch{1}{x-1}dx}. [/mm]
nun gehts überlicherweise mit der produktintegration weiter, bei der ich es nicht schaffe das ganze so zu vereinfachen, damit ich es vernünftig ausrechnen kann.
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Hallo Pete,
Die Zerlegung ist richtig, aber nun geht es nicht mit partieller Integration weiter, sondern mit Partialbruchzerlegung. Die Darstellung [mm] $\frac{1}{x^2-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x+1} [/mm] * [mm] \frac{1}{x-1}$ [/mm] ist die Faktorisierung, die benötigt wird, um die Partialbruchzerlegung herzustellen.
Bei der Partialbruchzerlegung wird dieses Produkt nun in eine Summe umgewandelt. In diesem Fall suchen wir also 2 Summanden, deren Zähler konstante Zahlen sind und deren Nenner die Nenner (x+1) und (x-1) unseres Produktes sind.
Wir suchen also zwei Zahlen A und B, so dass
[mm] $\frac{1}{x^2-1} [/mm] = [mm] \frac{A}{x+1} [/mm] + [mm] \frac{B}{x-1}$.
[/mm]
Multiplizieren wir diese Gleichung mit dem Hauptnenner [mm] x^2-1, [/mm] erhalten wir die äquivalente Gleichung
$1 = Ax - A + Bx + B = (A+B)x + B-A$.
Koeffizientenvergleich liefert das Gleichungssystem
0 = A + B,
1 = B - A.
Löst du dieses Gleichungssystem erhälst du die gesuchten Werte für A und B.
Dann ist dein Integral
[mm] $\int \frac{1}{x^2-1} [/mm] dx = [mm] \int \frac{A}{x+1} [/mm] dx + [mm] \int \frac{B}{x-1} [/mm] dx$.
Wenn du noch Probleme mit den letzten beiden Integralen hast oder der Partialbruchzerlegung, dann melde dich. In diesem Fall war die Parialbruchzerlegung besonders einfach, es gibt aber kompliziertere Fälle, die aber meistens ähnlich zu lösen gehen.
Liebe Grüße,
Irrlicht
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super, genau das wollt ich wissen.
ich danke allen, die sich meiner angenommen haben und verbleibe mit freundlichem gruß!
mfg, ShotgunPete
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