Integration von e^z^2 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe: [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{xyz*e^z^2 dx}
[/mm]
Und soll jetzt integrieren, doch wie integriere ich [mm] e^z^2 [/mm] ??
Wenn ich es als 1/2z * [mm] e^z^2 [/mm] integrier dann muss ich im folgenden Schritt durch 0 teilen, also geht das wohl nicht...
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 So 03.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo john_bello!
> Ich habe folgende Aufgabe: [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{xyz*e^z^2 dx}[/mm]
Da fehlen aber noch die Differentiale $dy_$ und $dz_$ in dem Integral, oder?
Dem Integral [mm] $\integral{z*e^{z^2} \ dz}$ [/mm] kann man mit der Substitution $u \ := \ [mm] z^2$ [/mm] beikommen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 So 03.02.2013 | | Autor: | john_bello |
Ah, ja klar, dzdydx hatte ich vergessen, sorry dafür.
Okay... werd das gleich mal machen und mich dann nochmal melden, danke für die schnelle Antwort!
edit:
Also integriere ich einfach mit [mm] e^u [/mm] statt [mm] e^z^2 [/mm] und ersetze dann im letzten schritt wieder u durch [mm] z^2
[/mm]
Dann würde also dastehen: [mm] xyz*e^u [/mm] - [mm] e^u*xy [/mm] ?
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Ah, ja klar, dzdydx hatte ich vergessen, sorry dafür.
Okay... werd das gleich mal machen und mich dann nochmal melden, danke für die schnelle Antwort!
edit:
Also integriere ich einfach mit $ [mm] e^u [/mm] $ statt $ [mm] e^z^2 [/mm] $ und ersetze dann im letzten schritt wieder u durch $ [mm] z^2 [/mm] $
Dann würde also dastehen: $ [mm] xyz\cdot{}e^u [/mm] $ - $ [mm] e^u\cdot{}xy [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ah, ja klar, dzdydx hatte ich vergessen, sorry dafür.
> Okay... werd das gleich mal machen und mich dann nochmal
> melden, danke für die schnelle Antwort!
>
> edit:
> Also integriere ich einfach mit [mm]e^u[/mm] statt [mm]e^z^2[/mm] und
> ersetze dann im letzten schritt wieder u durch [mm]z^2[/mm]
> Dann würde also dastehen: [mm]xyz\cdot{}e^u[/mm] - [mm]e^u\cdot{}xy[/mm] ?
Nein, schau dir unbedingt nochmal die Substitution an.
Hier hast du:
[mm] \int x\cdot e^{x^{2}}dx
[/mm]
Nun substituiere u=x², dann gbekommst du als "Nebenprodukt"
[mm] \frac{du}{dx}=2x\Leftrightarrow dx=\frac{1}{2x}du
[/mm]
Nun ersetze x² durch u und das dx ebenfalls durch den Nebenterm
Dann wird aus [mm] \int x\cdot e^{x^{2}}dx [/mm] das Integral
[mm] \int x\cdot e^{u}\cdot\frac{1}{2x}du
[/mm]
Dankenswerterweise verschwindet das immer noch von der Integratonsvariable u abhängige x durch kürzen, du hast also das folgende Integral zu lösen. Du dürftest das x also nicht als konstanten Faktor vor das Integral ziehen.
[mm] \int\frac{1}{2}\cdot e^{u}du
[/mm]
Und das ergibt:
[mm] \frac{1}{2}\cdot e^{u}
[/mm]
Mit der Rücksubstitition ergibt sich also
[mm] \int x\cdot e^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}
[/mm]
Marius
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Okay... ich hab das gerade dann mal weitergeführt, hab diesen Schritt also quasi noch 2mal gemacht.
aus 1/2 * xy * [mm] e^z^2 [/mm] wurde dann 1/4 [mm] *x*e^y^2 [/mm] woraus dann wiederrum 1/8 * [mm] e^x^2 [/mm] wurde.
Stimmt das dann so? Rauskommen tut bei mir dann 1/8 * [mm] e^1 [/mm] - 1/8* [mm] e^0
[/mm]
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{x}\integral_{0}^{y}{xyz\cdot{}e^{z^2} dzdydx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}\left(\integral_{0}^{y}{xyz\cdot{}e^{z^2} dz\right)dy\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}xy\cdot\left(\integral_{0}^{y}{z\cdot{}e^{z^2} dz\right)dy\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}xy\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot{}e^{y^2}-\frac{1}{2}\cdot e^{0^{2}}\right)dy\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{x}xy\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot{}e^{y^2}-\frac{1}{2}\right)dy\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\integral_{0}^{x}y\cdot e^{y^2}dy-\integral_{0}^{x}1dy\right)\right)\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\cdot e^{0^{2}}\right)-\left(x-0\right)\right)\right)\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\right)-x\right)\right)\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}\left(x\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\right)-x\right)\right)\right)dx [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\frac{1}{4}\cdot x\cdot e^{x^{2}}-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}xdx [/mm]
$ [mm] =\integral_{0}^{1}\frac{1}{4}\cdot x\cdot e^{x^{2}}-\frac{3}{4}xdx [/mm] $
Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet, den letzen Schritt rechne bitte nochmal selber.
Marius
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