Integration von (ln x)² < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:16 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Charlie22 |
| Aufgabe | | Integriere f(x)= 4 * ln x - (ln x)² |
Wie integriert man int(ln x)² ?
Ich habe versucht, (ln x)² als (ln x)*(ln x) anzuschreiben und habe dann die partielle Integration angewendet mit [mm] \integral [/mm] u*v' [mm] \, [/mm] dx= u*v- [mm] \integral [/mm] u'*v [mm] \, [/mm] dx.
u=ln x, u'=1/x, v'=ln x und v= x * ln x - x. Herausbekommen habe ich dann ln x + x²/2.
Und insgesamt habe ich nach dem Integrieren von f(x)-> 4x * ln x - x - (ln x + x²/2) herausbekommen. Ich weiß aber nicht, ob das stimmt, da ich nicht weiß, wie man (ln x)² richtig integriert bzw. ob mein Ansatz dafür stimmt.
Meine Rechnung sieht gesamt so aus:
[mm] \integral [/mm] 4* ln [mm] x\, [/mm] dx - [mm] \integral [/mm] (ln x)² [mm] \, [/mm] dx =
4* [mm] \integral [/mm] ln x [mm] \, [/mm] dx - [mm] \integral [/mm] (ln x)² [mm] \, [/mm] dx=
4 x * ln x - x - [mm] \integral [/mm] (ln x)² [mm] \, [/mm] dx=
4 x * ln x - x - (ln x + x²/2)
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charlie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dein Ansatz mittels partieller Integration ist sehr gut und richtig.
Auch $u_$ , $u'_$ , $v'_$ und $v_$ hast Du korrekt ermittelt.
Dann wird es leider absolut undurchsichtig und unübersichtlich.
Bitte rechne mal in kleineren Schritten vor.
Ich erhalte jedenfalls ein anderes Ergebnis.
Am Ende kannst Du auch stets die Probe machen, indem Du Dein Ergebnis wieder ableitest. Dann sollte die Ausgangsfunktion herauskommen.
Gruß
Loddar
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Danke schon mal für deine Antwort.
Ich habe (ln x)² dann so integriert:
ln x * (x * ln x - x) - [mm] \integral [/mm] 1/x * (x * ln x - [mm] x)\, [/mm] =
(ln x)² * x - x - [mm] \integral [/mm] ln x [mm] -x\, [/mm] =
(ln x)² * x - x - (x * ln x - x - x²/2) =
(ln x)² * x - x - x* ln x +x + x²/2 =
(ln x)² * x - x* ln x + x²/2 =
ln x + x²/2
So habe ich (ln x)² integriert. Wenn du meinst, dass ich u, v, u' und v' richtig bestimmt habe, liegt der Fehler viell. hier in meinen weiteren Rechenschritten. Ich konnte ihn leider selbst nicht finden, viell. weißt du was?
Danke sehr.
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Hallo Charlie22,
> Danke schon mal für deine Antwort.
>
> Ich habe (ln x)² dann so integriert:
>
> ln x * (x * ln x - x) - [mm]\integral[/mm] 1/x * (x * ln x - [mm]x)\,[/mm] =
> (ln x)² * x - x - [mm]\integral[/mm] ln x [mm]-x\,[/mm] =
Hier muss es heißen:
[mm]\left( \ \ln\left(x\right) \ \right)^{2}*x -x\red{*\ln\left(x\right)}-\integral_{}^{}{\ln\left(x\right)-\red{1} \ dx}[/mm]
> (ln x)² * x - x - (x * ln x - x - x²/2) =
> (ln x)² * x - x - x* ln x +x + x²/2 =
> (ln x)² * x - x* ln x + x²/2 =
> ln x + x²/2
Schreibe Exponenten immer in geschweiften Klammern: x^{2}
>
> So habe ich (ln x)² integriert. Wenn du meinst, dass ich
> u, v, u' und v' richtig bestimmt habe, liegt der Fehler
> viell. hier in meinen weiteren Rechenschritten. Ich konnte
> ihn leider selbst nicht finden, viell. weißt du was?
>
> Danke sehr.
Gruss
MathePower
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Danke sehr, aber wieso steht dann unter dem Integral eine -1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charlie!
$u'*v \ = \ [mm] \bruch{1}{x}*\left[ \ x*\ln(x)-x \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}*x*\ln(x)-\bruch{1}{x}*x [/mm] \ = \ [mm] 1*\ln(x)-1 [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)-1$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Charlie22 |
Achso.. man hebt x heraus, kürzt es dann mit 1/x und heraus kommt dann das Integral von ln x - 1, oder?
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Vielen, vielen Dank! Jetzt ist es mir klar!! Hoffe, dass ich das am Freitag bei der Schularbeit auch hinkriege :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charlie!
Nein, das entsteht durch das Ausmultiplizieren:
[mm]\red{u}*\blue{v} \ = \ \red{\ln(x)}*\left[ \ \blue{x*\ln(x)-x} \ \right] \ = \ \blue{x*\ln(x)}*\red{\ln(x)} \ \blue{-x}*\red{\ln(x)} \ = \ x*\ln^2(x)-x*\ln(x)[/mm]
Gruß
Loddar
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