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Integration von sinh und cos: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Di 18.09.2012
Autor: sardelka

Hallo,

ich habe folgendes Integral:

[mm] \integral_{-1}^{1}{(-2+sinh^{7}(x)cos(x^{8}) dx} [/mm]

Das soll ohne großer Rechnungen funktionieren, allerdings komme ich nicht auf die Lösung.

Kann mir jemand helfen, bitte?

Vielen Dank im Voraus
LG

        
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Integration von sinh und cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Di 18.09.2012
Autor: reverend

Hallo sardelka,

das sieht nach einem hübsch aufgeblähten Monster aus.

> [mm]\integral_{-1}^{1}{(-2+sinh^{7}(x)cos(x^{8}) dx}[/mm]
>  
> Das soll ohne große Rechnungen funktionieren, allerdings
> komme ich nicht auf die Lösung.

Erstmal ist [mm] \int_{-1}^{1}{-2\ dx}=-4. [/mm]

Für den Rest würde ich mir mal anschauen, ob es sich um eine gerade oder eine ungerade Funktion handelt. Das könnte die Integration ja erheblich vereinfachen. ;-)

Grüße
reverend

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Integration von sinh und cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Di 18.09.2012
Autor: sardelka

sinh(x) ist eine ungerade Funktion und cos(x) ist eine gerade Funktion.

Aber irgendwie komme ich das einfach nicht weiter. Wie hilft mir das denn bei einer Integration weiter?

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Integration von sinh und cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 18.09.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> sinh(x) ist eine ungerade Funktion und cos(x) ist eine
> gerade Funktion.

Richtig.

> Aber irgendwie komme ich das einfach nicht weiter. Wie
> hilft mir das denn bei einer Integration weiter?

Na, es geht schon noch etwas weiter.
Auch [mm] \sinh^7{(x)} [/mm] ist dann ungerade, und vor allem ist
[mm] \sinh^7{(x)}*\cos{(x^8)} [/mm] auch ungerade.

Für ungerade Funktionen [mm] f_u(x) [/mm] gilt aber:

[mm] \integral_{-a}^{0}{f_u(x)\ dx}=-\integral_{0}^{a}{f_u(x)\ dx} [/mm]

Damit ist die Aufgabe dann doch leicht zu lösen.

Grüße
reverend

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Integration von sinh und cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Di 18.09.2012
Autor: sardelka

Tut mir Leid, aber für mich ist es kein bisschen leichter geworden.
Ich sehe da immer noch nicht, wie ich den Wert ohne Rechnerei ablesen kann.

Ich habe also nun [mm] -\integral_{1}^{-1}{(-2 + sinh^{7}(x)cos(x^{8}) dx} [/mm]

Aber was bringt mir das?

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Integration von sinh und cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Di 18.09.2012
Autor: reverend

Hallo sardelka,

da hast Du ein Brett vor dem Kopf.
Lies meine letzte Antwort hiervor nochmal gründlich.

Dann rechne für die beliebige ungerade Funktion [mm] f_u(x) [/mm] doch
mal das [mm] $\integral_{-a}^{a}{f_u(x)\ dx}$ [/mm] aus.

Grüße
reverend

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Integration von sinh und cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Di 18.09.2012
Autor: sardelka

Ach soooooooo, eine Null kommt dann raus))) Aber ich bitte um eine Bestätigung. Nicht, dass das Brett immer noch vor dem Kopf steht)))

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Integration von sinh und cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Di 18.09.2012
Autor: franzzink


> Ach soooooooo, eine Null kommt dann raus))) Aber ich bitte
> um eine Bestätigung. Nicht, dass das Brett immer noch vor
> dem Kopf steht)))

Hallo Sardelka,


ja, das Integral einer ungeraden Funktion von -a bis a ergibt immer null.

Das Gesamtintegral hat wegen dem Summanden "-2" den Wert -4.


Schöne Grüße
franzzink

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Integration von sinh und cos: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Di 18.09.2012
Autor: sardelka

Aber ich leite doch -2 auf, und dann habe ich -2x stehen, was dazu führt, dass auch die "-2 verschwindet".

Habe nämlich ein solches Beispiel genommen:

[mm] \integral_{-1}^{1}{-2 + cosh(x) dx} [/mm] = (-2x + sinh(x)) (von -1 bis 1)

Das ergibt doch wieder Null?


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Bezug
Integration von sinh und cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Di 18.09.2012
Autor: schachuzipus

Hallo sardelka,

> Aber ich leite doch -2 auf,


Aaaaahhhhhhhhhhhh!!!! Bitte !!!!

Das heißt "integrieren"

> und dann habe ich -2x stehen, [ok]
> was dazu führt, dass auch die "-2 verschwindet".

????

Es ist [mm] $\int\limits_{-1}^{1}{(-2+\sinh^7(x)\cdot{}\cos\left(x^8\right)) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int\limits_{-1}^{1}{-2 \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\int\limits_{-1}^{1}{\sinh^7(x)\cdot{}\cos\left(x^8\right) \ dx}}_{=0, \text{da Integrand ungerade}} [/mm] \ = [mm] \left[-2x\right]_{-1}^1 [/mm] \ + \ 0 \ = \ -2-2 \ = \ -4$

>
> Habe nämlich ein solches Beispiel genommen:
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1}{-2 + cosh(x) dx}[/mm] = (-2x + sinh(x)) (von
> -1 bis 1) [ok]
>  
> Das ergibt doch wieder Null?

Nein, wieso sollte das Null ergeben?

Gruß

schachuzipus



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Integration von sinh und cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:01 Di 18.09.2012
Autor: sardelka

Ach so, jetzt habe ich glaube ich komplett verstanden.

Es ergibt nur bei ungeraden Funktionen Null, wenn man von -a bis a integriert.

Aber bei z.B. bei -2x nicht. (bin schon etwas durcheinander)

Vielen vielen Dank!!!

Bezug
                                                                                        
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Integration von sinh und cos: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Di 18.09.2012
Autor: fred97


> Ach so, jetzt habe ich glaube ich komplett verstanden.
>  
> Es ergibt nur bei ungeraden Funktionen Null, wenn man von
> -a bis a integriert.

Das stimmt nicht.

Z.B. ist

   [mm] \integral_{-1}^{1}{(x^2+x-\bruch{1}{3}) dx}=0. [/mm]

Die Funktion [mm] f(x)=x^2+x-\bruch{1}{3} [/mm] ist aber keine ungerade Funktion.

Also merke: ist f ungerade, so ist [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0. [/mm]

Aber die Umkehrung ist i.a. falsch.

FRED
    

>  
> Aber bei z.B. bei -2x nicht. (bin schon etwas
> durcheinander)
>  
> Vielen vielen Dank!!!


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