Integration von sinh und cos < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Di 18.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich habe folgendes Integral:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(-2+sinh^{7}(x)cos(x^{8}) dx}
[/mm]
Das soll ohne großer Rechnungen funktionieren, allerdings komme ich nicht auf die Lösung.
Kann mir jemand helfen, bitte?
Vielen Dank im Voraus
LG
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Hallo sardelka,
das sieht nach einem hübsch aufgeblähten Monster aus.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(-2+sinh^{7}(x)cos(x^{8}) dx}[/mm]
>
> Das soll ohne große Rechnungen funktionieren, allerdings
> komme ich nicht auf die Lösung.
Erstmal ist [mm] \int_{-1}^{1}{-2\ dx}=-4.
[/mm]
Für den Rest würde ich mir mal anschauen, ob es sich um eine gerade oder eine ungerade Funktion handelt. Das könnte die Integration ja erheblich vereinfachen. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 18.09.2012 | | Autor: | sardelka |
sinh(x) ist eine ungerade Funktion und cos(x) ist eine gerade Funktion.
Aber irgendwie komme ich das einfach nicht weiter. Wie hilft mir das denn bei einer Integration weiter?
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Hallo nochmal,
> sinh(x) ist eine ungerade Funktion und cos(x) ist eine
> gerade Funktion.
Richtig.
> Aber irgendwie komme ich das einfach nicht weiter. Wie
> hilft mir das denn bei einer Integration weiter?
Na, es geht schon noch etwas weiter.
Auch [mm] \sinh^7{(x)} [/mm] ist dann ungerade, und vor allem ist
[mm] \sinh^7{(x)}*\cos{(x^8)} [/mm] auch ungerade.
Für ungerade Funktionen [mm] f_u(x) [/mm] gilt aber:
[mm] \integral_{-a}^{0}{f_u(x)\ dx}=-\integral_{0}^{a}{f_u(x)\ dx}
[/mm]
Damit ist die Aufgabe dann doch leicht zu lösen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Di 18.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Tut mir Leid, aber für mich ist es kein bisschen leichter geworden.
Ich sehe da immer noch nicht, wie ich den Wert ohne Rechnerei ablesen kann.
Ich habe also nun [mm] -\integral_{1}^{-1}{(-2 + sinh^{7}(x)cos(x^{8}) dx}
[/mm]
Aber was bringt mir das?
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Hallo sardelka,
da hast Du ein Brett vor dem Kopf.
Lies meine letzte Antwort hiervor nochmal gründlich.
Dann rechne für die beliebige ungerade Funktion [mm] f_u(x) [/mm] doch
mal das [mm] $\integral_{-a}^{a}{f_u(x)\ dx}$ [/mm] aus.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Di 18.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Ach soooooooo, eine Null kommt dann raus))) Aber ich bitte um eine Bestätigung. Nicht, dass das Brett immer noch vor dem Kopf steht)))
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> Ach soooooooo, eine Null kommt dann raus))) Aber ich bitte
> um eine Bestätigung. Nicht, dass das Brett immer noch vor
> dem Kopf steht)))
Hallo Sardelka,
ja, das Integral einer ungeraden Funktion von -a bis a ergibt immer null.
Das Gesamtintegral hat wegen dem Summanden "-2" den Wert -4.
Schöne Grüße
franzzink
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 18.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Aber ich leite doch -2 auf, und dann habe ich -2x stehen, was dazu führt, dass auch die "-2 verschwindet".
Habe nämlich ein solches Beispiel genommen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{-2 + cosh(x) dx} [/mm] = (-2x + sinh(x)) (von -1 bis 1)
Das ergibt doch wieder Null?
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Hallo sardelka,
> Aber ich leite doch -2 auf,
Aaaaahhhhhhhhhhhh!!!! Bitte !!!!
Das heißt "integrieren"
> und dann habe ich -2x stehen, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> was dazu führt, dass auch die "-2 verschwindet".
????
Es ist [mm] $\int\limits_{-1}^{1}{(-2+\sinh^7(x)\cdot{}\cos\left(x^8\right)) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int\limits_{-1}^{1}{-2 \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\int\limits_{-1}^{1}{\sinh^7(x)\cdot{}\cos\left(x^8\right) \ dx}}_{=0, \text{da Integrand ungerade}} [/mm] \ = [mm] \left[-2x\right]_{-1}^1 [/mm] \ + \ 0 \ = \ -2-2 \ = \ -4$
>
> Habe nämlich ein solches Beispiel genommen:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{-2 + cosh(x) dx}[/mm] = (-2x + sinh(x)) (von
> -1 bis 1)
>
> Das ergibt doch wieder Null?
Nein, wieso sollte das Null ergeben?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 18.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Ach so, jetzt habe ich glaube ich komplett verstanden.
Es ergibt nur bei ungeraden Funktionen Null, wenn man von -a bis a integriert.
Aber bei z.B. bei -2x nicht. (bin schon etwas durcheinander)
Vielen vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ach so, jetzt habe ich glaube ich komplett verstanden.
>
> Es ergibt nur bei ungeraden Funktionen Null, wenn man von
> -a bis a integriert.
Das stimmt nicht.
Z.B. ist
[mm] \integral_{-1}^{1}{(x^2+x-\bruch{1}{3}) dx}=0.
[/mm]
Die Funktion [mm] f(x)=x^2+x-\bruch{1}{3} [/mm] ist aber keine ungerade Funktion.
Also merke: ist f ungerade, so ist [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0.
[/mm]
Aber die Umkehrung ist i.a. falsch.
FRED
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> Aber bei z.B. bei -2x nicht. (bin schon etwas
> durcheinander)
>
> Vielen vielen Dank!!!
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