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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 20.12.2009 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen.
Hat einer eine Idee zur Integration von:
[mm] $\integral_{\IR}{exp(\sigma*x)*exp(\bruch{-x^2}{2*(t-s)}) dx}$
[/mm]
Partielle Integration führt bei mir zu keinem vernünftigen Ergebnis.
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
Gruß, Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 20.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dester!
> Hallo zusammen.
> Hat einer eine Idee zur Integration von:
>
> [mm]\integral_{\IR}{\exp(\sigma*x)*\exp(\bruch{-x^2}{2*(t-s)}) dx}[/mm]
Fasse die beiden Exponentialfunktionen zusammen:
[mm] \exp(\sigma*x)*\exp(\bruch{-x^2}{2*(t-s)}) = \exp \left(\bruch{-x^2+2\sigma(t-s) x}{2*(t-s)}\right) [/mm]
mache quadratische Ergänzung im Exponenten und substituiere x.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 20.12.2009 | | Autor: | DesterX |
Danke rainer für die schnelle Hilfe.
Es ergibt sich:
[mm] $\bruch{-x^2+2\sigma(t-s) x}{2\cdot{}(t-s)} [/mm] = [mm] -\bruch{(x-\sigma^2*(t-s))^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s)}$
[/mm]
Also hab ich nun die Integration von:
[mm] $exp(-\bruch{(x-\sigma^2*(t-s))^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s)})$
[/mm]
Mit der Substitution [mm] $u=x-\sigma^2*(t-s)$
[/mm]
erhalte ich:
[mm] exp(-\bruch{u^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s))})
[/mm]
Leider hänge ich hier erneut fest.
Hast du eine Idee, wie es nun weitergeht?
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Hallo DesterX,
> Danke rainer für die schnelle Hilfe.
> Es ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{-x^2+2\sigma(t-s) x}{2\cdot{}(t-s)} = -\bruch{(x-\sigma^2*(t-s))^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s)}[/mm]
>
> Also hab ich nun die Integration von:
> [mm]exp(-\bruch{(x-\sigma^2*(t-s))^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s)})[/mm]
>
> Mit der Substitution [mm]u=x-\sigma^2*(t-s)[/mm]
> erhalte ich:
> [mm]exp(-\bruch{u^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s))})[/mm]
>
> Leider hänge ich hier erneut fest.
> Hast du eine Idee, wie es nun weitergeht?
Nun, der Wert des Integrals
[mm]\integral_{\IR}^{}{e^{-v^{2}} \ dv}[/mm]
ist bekannt.
Alternativ kannst Du Dir das auch selbst herleiten,
in dem Du
[mm]\left(\integral_{\IR}^{}{e^{-v^{2}} \ dv}\right)^{2}[/mm]
betrachtest.
[mm]\left(\integral_{\IR}^{}{e^{-v^{2}} \ dv}\right)^{2}=\integral_{\IR}^{}{e^{-v^{2}} \ dv}*\integral_{\IR}^{}{e^{-w^{2}} \ dw}=\integral_{\IR}^{}{\integral_{\IR}^{}{e^{-\left(v^{2}+w^{2}\right)} \ dv \ dw}}[/mm]
Verwende jetzt zur Berechnung des
rechtsstehenden Integrals Polarkoordinaten.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke rainer für die schnelle Hilfe.
> Es ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{-x^2+2\sigma(t-s) x}{2\cdot{}(t-s)} = -\bruch{(x-\sigma^2*(t-s))^2 - ((\sigma^2*(t-s))^2}{2*(t-s)}[/mm]
Rechts steht nicht [mm] $\sigma^2$,sondern $\sigma$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Mo 21.12.2009 | | Autor: | DesterX |
Vielen Dank für eure Hilfe.
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