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Integrationsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mi 03.04.2013
Autor: Mathe-Andi

Aufgabe
Es soll durch Integration gezeigt werden, dass für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0 [/mm]


Hallo,

Wie geht man sowas an? Ich habe überhaupt keinen Ansatz :( Hat vielleicht jemand einen Tip für mich, was der erste Schritt ist oder mit welcher Methode man diese Aufgabe löst?

Gruß, Andreas

        
Bezug
Integrationsmethode: losrechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 03.04.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Andi!


Was stört Dich hier bzw. wo ist das genau Problem?

Bestimme zunächst die Stammfunktion zu [mm] $\sin(n*x)$ [/mm] und setze dann die gegebenen Grenzen ein.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Integrationsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 03.04.2013
Autor: Mathe-Andi

Das "n" stört mich bzw. mein Ergebnis. n=0, was soll das aussagen?

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0 [/mm]

[mm] [-cos(nx)]_{0}^{2\pi}=0 [/mm]

[mm] -cos(n*2\pi)+cos(0)=0 [/mm]

[mm] cos(n*2\pi)=1 [/mm]

[mm] n*2\pi=arccos(1) [/mm]

n=0

Falsch?



Bezug
                        
Bezug
Integrationsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mi 03.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Mathe-Andi,

 > Das "n" stört mich bzw. mein Ergebnis. n=0, was soll das aussagen?

Wie? n=0?

Das Integral soll für alle n=0,1,2,3,4,... den Wert 0 haben.



>

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0[/mm]

>

> [mm][-cos(nx)]_{0}^{2\pi}=0[/mm]

>

> [mm]-cos(n*2\pi)+cos(0)=0[/mm]

>

> [mm]cos(n*2\pi)=1[/mm]

>

> [mm]n*2\pi=arccos(1)[/mm]

>

> n=0

>

> Falsch?

Dir scheint nicht klar, was du zeigen sollst ...

Du musst nicht n=0 zeigen.

Außerdem ist deine Stammfunktion falsch.

Es ist für [mm]n=0[/mm] doch [mm]\sin(nx)=\sin(0)[/mm], also [mm]\int\limits_{0}^{2\pi}{0 \ dx}=0[/mm]

Das passt.

Für [mm]n>0[/mm] ist [mm]\int\limits_{0}^{2\pi}{\sin(nx) \ dx}=\left[-\frac{1}{n}\cos(nx)\right]_0^{2\pi}[/mm]

Rechne das aus und schaue, ob da auch gefälligst 0 rauskommt.

Gruß

schachuzipus

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Integrationsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Mi 03.04.2013
Autor: Mathe-Andi


> Dir scheint nicht klar, was du zeigen sollst ...
>  

Stimme ich zu. Bis eben.

Das Ergebnis gefällt mir nicht. Ich schreibe mal die ganze Rechnung auf, ist glaube ich besser:


[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0 [/mm]

Substitution:

t=nx; [mm] \bruch{dt}{dx}=n; dx=\bruch{dt}{n} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}} [/mm]

untere Grenze: x=0; t=nx=0

obere Grenze: [mm] x=2\pi; t=nx=n2\pi [/mm]

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{n2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}=[-cos(t)*\bruch{1}{n}]_{0}^{n2\pi}= -cos(n2\pi)*\bruch{1}{n}-(-1)*\bruch{1}{n} [/mm]

Mal ein paar Werte eingesetzt:

n=1: [mm] \approx0,006 [/mm]

n=3: [mm] \approx0,018 [/mm]

n=10: [mm] \approx0,054 [/mm]

Was soll ich davon halten?



Bezug
                                        
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Integrationsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 03.04.2013
Autor: abakus


> > Dir scheint nicht klar, was du zeigen sollst ...
> >

>

> Stimme ich zu. Bis eben.

>

> Das Ergebnis gefällt mir nicht. Ich schreibe mal die ganze
> Rechnung auf, ist glaube ich besser:

>
>

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0[/mm]

>

> Substitution:

>

> t=nx; [mm]\bruch{dt}{dx}=n; dx=\bruch{dt}{n}[/mm]

>

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}[/mm]

>

> untere Grenze: x=0; t=nx=0

>

> obere Grenze: [mm]x=2\pi; t=nx=n2\pi[/mm]

>

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{n2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}=[-cos(t)*\bruch{1}{n}]_{0}^{n2\pi}= -cos(n2\pi)*\bruch{1}{n}-(-1)*\bruch{1}{n}[/mm]

>

> Mal ein paar Werte eingesetzt:

>

> n=1: [mm]\approx0,006[/mm]

>

> n=3: [mm]\approx0,018[/mm]

>

> n=10: [mm]\approx0,054[/mm]

>

> Was soll ich davon halten?

Hast du einen Taschenrechner benutzt? Dann hätte ich eine Vermutung, wie du zu diesen falschen Ergebnissen kommst.
Ich weiß jedenfalls, dass cos 0=1, cos [mm] $2\pi$=1, cos$4\pi$=1, cos$6\pi$=1... [/mm] gilt.
Damit werden die drei von dir beispielhaft berechneten Integrale sämtlich Null. 

Gruß Abakus
>
>

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Integrationsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:32 Mi 03.04.2013
Autor: Mathe-Andi

Er ist auf DEG eingestellt, statt auf RAD! Asche über mein Haupt.

Danke!

Bezug
                                                        
Bezug
Integrationsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Mi 03.04.2013
Autor: schachuzipus


> Er ist auf DEG eingestellt, statt auf RAD! Asche über mein
> Haupt.

Asche - und zwar tonnenweise - gehört auf dein Haupt, wenn du [mm]\cos(0)[/mm] und [mm]\cos(n\cdot{}2\pi)[/mm] überhaupt in den TR eintippst ...

Das grenzt an Frevelei ;-)

>

> Danke!

Gruß
schachuzipus

Bezug
        
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Integrationsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 03.04.2013
Autor: reverend

Hallo Andi,

> Es soll durch Integration gezeigt werden, dass für alle n
> [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt:

>

> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0[/mm]

>

> Hallo,

>

> Wie geht man sowas an? Ich habe überhaupt keinen Ansatz :(
> Hat vielleicht jemand einen Tip für mich, was der erste
> Schritt ist oder mit welcher Methode man diese Aufgabe
> löst?

Substituiere $t=nx$. Achte darauf, auch die Integrationsgrenzen mit zu substituieren!

Grüße
reverend

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