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| Aufgabe | Es soll durch Integration gezeigt werden, dass für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0 [/mm] |
Hallo,
Wie geht man sowas an? Ich habe überhaupt keinen Ansatz :( Hat vielleicht jemand einen Tip für mich, was der erste Schritt ist oder mit welcher Methode man diese Aufgabe löst?
Gruß, Andreas
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Hallo Andi!
Was stört Dich hier bzw. wo ist das genau Problem?
Bestimme zunächst die Stammfunktion zu [mm] $\sin(n*x)$ [/mm] und setze dann die gegebenen Grenzen ein.
Gruß vom
Roadrunner
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Das "n" stört mich bzw. mein Ergebnis. n=0, was soll das aussagen?
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0
[/mm]
[mm] [-cos(nx)]_{0}^{2\pi}=0
[/mm]
[mm] -cos(n*2\pi)+cos(0)=0
[/mm]
[mm] cos(n*2\pi)=1
[/mm]
[mm] n*2\pi=arccos(1)
[/mm]
n=0
Falsch?
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Hallo Mathe-Andi,
> Das "n" stört mich bzw. mein Ergebnis. n=0, was soll das aussagen?
Wie? n=0?
Das Integral soll für alle n=0,1,2,3,4,... den Wert 0 haben.
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0[/mm]
>
> [mm][-cos(nx)]_{0}^{2\pi}=0[/mm]
>
> [mm]-cos(n*2\pi)+cos(0)=0[/mm]
>
> [mm]cos(n*2\pi)=1[/mm]
>
> [mm]n*2\pi=arccos(1)[/mm]
>
> n=0
>
> Falsch?
Dir scheint nicht klar, was du zeigen sollst ...
Du musst nicht n=0 zeigen.
Außerdem ist deine Stammfunktion falsch.
Es ist für [mm]n=0[/mm] doch [mm]\sin(nx)=\sin(0)[/mm], also [mm]\int\limits_{0}^{2\pi}{0 \ dx}=0[/mm]
Das passt.
Für [mm]n>0[/mm] ist [mm]\int\limits_{0}^{2\pi}{\sin(nx) \ dx}=\left[-\frac{1}{n}\cos(nx)\right]_0^{2\pi}[/mm]
Rechne das aus und schaue, ob da auch gefälligst 0 rauskommt.
Gruß
schachuzipus
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> Dir scheint nicht klar, was du zeigen sollst ...
>
Stimme ich zu. Bis eben.
Das Ergebnis gefällt mir nicht. Ich schreibe mal die ganze Rechnung auf, ist glaube ich besser:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0
[/mm]
Substitution:
t=nx; [mm] \bruch{dt}{dx}=n; dx=\bruch{dt}{n}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}
[/mm]
untere Grenze: x=0; t=nx=0
obere Grenze: [mm] x=2\pi; t=nx=n2\pi
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{n2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}=[-cos(t)*\bruch{1}{n}]_{0}^{n2\pi}= -cos(n2\pi)*\bruch{1}{n}-(-1)*\bruch{1}{n}
[/mm]
Mal ein paar Werte eingesetzt:
n=1: [mm] \approx0,006
[/mm]
n=3: [mm] \approx0,018
[/mm]
n=10: [mm] \approx0,054
[/mm]
Was soll ich davon halten?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 03.04.2013 | | Autor: | abakus |
> > Dir scheint nicht klar, was du zeigen sollst ...
> >
>
> Stimme ich zu. Bis eben.
>
> Das Ergebnis gefällt mir nicht. Ich schreibe mal die ganze
> Rechnung auf, ist glaube ich besser:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0[/mm]
>
> Substitution:
>
> t=nx; [mm]\bruch{dt}{dx}=n; dx=\bruch{dt}{n}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}[/mm]
>
> untere Grenze: x=0; t=nx=0
>
> obere Grenze: [mm]x=2\pi; t=nx=n2\pi[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=\integral_{0}^{n2\pi}{sin(t) \bruch{dt}{n}}=[-cos(t)*\bruch{1}{n}]_{0}^{n2\pi}= -cos(n2\pi)*\bruch{1}{n}-(-1)*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Mal ein paar Werte eingesetzt:
>
> n=1: [mm]\approx0,006[/mm]
>
> n=3: [mm]\approx0,018[/mm]
>
> n=10: [mm]\approx0,054[/mm]
>
> Was soll ich davon halten?
Hast du einen Taschenrechner benutzt? Dann hätte ich eine Vermutung, wie du zu diesen falschen Ergebnissen kommst.
Ich weiß jedenfalls, dass cos 0=1, cos [mm] $2\pi$=1, cos$4\pi$=1, cos$6\pi$=1... [/mm] gilt.
Damit werden die drei von dir beispielhaft berechneten Integrale sämtlich Null.
Gruß Abakus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Er ist auf DEG eingestellt, statt auf RAD! Asche über mein Haupt.
Danke!
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> Er ist auf DEG eingestellt, statt auf RAD! Asche über mein
> Haupt.
Asche - und zwar tonnenweise - gehört auf dein Haupt, wenn du [mm]\cos(0)[/mm] und [mm]\cos(n\cdot{}2\pi)[/mm] überhaupt in den TR eintippst ...
Das grenzt an Frevelei 
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
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Hallo Andi,
> Es soll durch Integration gezeigt werden, dass für alle n
> [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin(nx) dx}=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> Wie geht man sowas an? Ich habe überhaupt keinen Ansatz :(
> Hat vielleicht jemand einen Tip für mich, was der erste
> Schritt ist oder mit welcher Methode man diese Aufgabe
> löst?
Substituiere $t=nx$. Achte darauf, auch die Integrationsgrenzen mit zu substituieren!
Grüße
reverend
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