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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Fr 28.12.2007 | | Autor: | rennreh |
| Aufgabe | | Durch die Drehung der über dem Intervall 0 <= x <= PI/2 gelegenenen Cosinuskurve y=cos(x) um die X-Achse ensteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen Volumen. (Die aufgabe steht im Papula Band 1 auf seite 484 beispiel 1) |
Nun, ich habe erstmal meine ausgansgformel aufgestellt:
[mm] \pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(x))^{2} dx}
[/mm]
anders als im Buch, habe ich an Integration über Substitution gedacht.
[mm] \pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{u^{2} dx}
[/mm]
u=cos(x) => [mm] \bruch{du}{dx}=-sin(x) [/mm] => [mm] dx=-\bruch{1}{sin(x)}\*du
[/mm]
[mm] \pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}-{\bruch{u^{2}}{sin(x)} du}
[/mm]
durch integration und Rücksubstiution ergibt sich die stammfunktion:
[mm] F=-\bruch{\pi\*cos^{3}(x)}{3\*sin(x)}
[/mm]
Das Volumen sollte dann nur noch
[mm] V=F(\bruch{\pi}{2}) [/mm] + F(0) sein
V=-38,159+0
V=38,159VE
Im Buch kommt man aber leider auf ein anderes ergebnis:
[mm] V=\pi\*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2} dx}=\pi\*|\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4}\*sin(2x)| [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{4}
[/mm]
Ich zweifel daran, das mein Ergebnis von rund 40VE richtig sein kann. Leider vestehe ich nicht was im Buch getan wurde!
Meine frage nun, darf ich in diesem falle die Substitution nicht verwenden, wenn ja, wieso nicht ?
Noch ein anderes Beispiel:
[mm] \integral_{}^{}{(4x+2)^{2} dx}
[/mm]
bei diesem Problem gibt es nach meiner Meinugn zwei möglichkeiten. Einmal Binomische Formel auflösen dann integrieren oder aber durch substitution.
1:
[mm] F=\bruch{16}{3}x^{3}+8x^{2}+4x
[/mm]
bei 2:
[mm] F=\bruch{(4x+2)^{3}}{12}
[/mm]
Ich stelle fest das beide gleichungen schon ein paar ungenauigkeiten aufweisen. aber welche methode ist von beiden nun richtiger. können diese ungenauigkeiten auch bei meinem problem zurückzuführen sein (aber mein ergebnis ist um ein vielfaches größer als das vom buch) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 29.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
das hier
> [mm]\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(x))^{2} dx}[/mm]
>
> anders als im Buch, habe ich an Integration über
> Substitution gedacht.
ist eher ein Fall für partielle Integration - ein Begriff?
[mm] \pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(x))^{2} dx}=\pi\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x)*cos(x) dx}
[/mm]
Nehmen wir - der Übersichtlichkeit wegen - nur das Integral:
[mm] \integral{cos(x)*cos(x) dx}=cos(x)*sin(x)-\integral{-sin(x)*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =cos(x)*sin(x)+\integral{sin(x)*sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =cos(x)*sin(x)+\integral{(sin(x))^2 dx}
[/mm]
Jetzt wende Additionstheorem an: [mm] sin^2(x)=1-cos^2(x)
[/mm]
[mm] \integral{cos^2(x) dx}=cos(x)*sin(x)+\integral{1-cos^2(x) dx}
[/mm]
[mm] =cos(x)*sin(x)+\integral{1 dx}-\integral{cos^2(x) dx}
[/mm]
[mm] =cos(x)*sin(x)+x-\integral{cos^2(x) dx}
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm] 2*\integral{cos^2(x) dx}=cos(x)*sin(x)+x
[/mm]
[mm] \integral{cos^2(x) dx}=\bruch{cos(x)*sin(x)+x}{2}
[/mm]
In der Tat etwas kompliziert - zumal man noch ein Theorem anwenden muss.
> [mm]\integral_{}^{}{(4x+2)^{2} dx}[/mm]
> bei diesem Problem gibt es
> nach meiner Meinugn zwei möglichkeiten. Einmal Binomische
> Formel auflösen dann integrieren oder aber durch
> substitution.
>
> 1:
> [mm]F=\bruch{16}{3}x^{3}+8x^{2}+4x[/mm]
>
> bei 2:
> [mm]F=\bruch{(4x+2)^{3}}{12}[/mm]
>
> Ich stelle fest das beide gleichungen schon ein paar
> ungenauigkeiten aufweisen. aber welche methode ist von
> beiden nun richtiger.
In der Tat sind beide Vorgehensweisen korrekt.
Du kannst ja mal [mm] \bruch{(4x+2)^{3}}{12} [/mm] berechnen.
Du erhälst: [mm] \bruch{16}{3}x^{3}+8x^{2}+4x+\bruch{8}{12}.
[/mm]
Eine Stammfunktion von f hat ja immer die Form:
[mm] F(x)=\integral{f(x)dx}+c
[/mm]
Im ersten Fall ist c=0 und im zweiten Fall ist [mm] c=\bruch{8}{12}.
[/mm]
Wenn du jetzt einen Flächeninhalt unter dem Graphen berechnen willst, so "fällt c beim Subtrahieren sowieso weg."
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
MfG barsch
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