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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:24 Do 27.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi,
ich arbeite mich derzeit selbst in Integralrechnung ein und bin noch nicht so der Held bei dem Thema ... Ich habe einige Dinge ausprobiert und habe da nun doch einige Schwierigkeiten...
Ich zeige einfach mal meine Schritte und würde mich freuen, wenn mir jemand sagt, ob alles korrekt ist bzw. mir bei meiner letzten Aufgabe hilft.
Als erstes hatte ich versucht, folgendes Integral zu bilden:
[mm] \integral{x^{3}*cos(x)dx}
[/mm]
Dort sagt man, dann man mit folgendem Eumel als Vorlage das Integral bildet:
[mm] \integral{u*v' dx}=u*v-\integral{u'*v}
[/mm]
Angewendet auf mein Teil hieße das dann:
[mm] \integral{\underbrace{x^{3}}_{u}*\underbrace{cos(x)}_{v'}dx}
[/mm]
Dazu noch: u'=6*x ... v=sin(x)
Aus dem dann mein 1. Integral entsteht:
[mm] x^{3}*sin(x)-\integral{3*x^{2}*sin(x)}
[/mm]
Das neu entstandene Integral löse ich dann auf die selbe Art und Weise immer wieder auf und hab dann am Ende ein Ergebnis wie folgt:
[mm] x^{3}*sin(x)-(-3*x^{2}*cos(x)-(-6*x*sin(x)-(6*cos(x))))
[/mm]
Ohne die Klammern dann mein folgendes Ergebnis:
[mm] x^{3}*sin(x)+3*x^{2}*cos(x)-6*x*sin(x)-6*cos(x)
[/mm]
Das Ergebnis stimmt, aber ist die Art und Weise, wie ich das aufschreib, denn so korrekt oder begehe ich irgendeinen schlimmen Schönheitsfehler?
Im übrigen: Wie nennt man diese Integrationsmethode, die ich hier angewendet hab?
Nun denn, weiter bei den Integralen wollte ich das folgende lösen:
[mm] \integral{5*sin(2*x)dx}
[/mm]
Dort war es schon etwas schwieriger für mich, aber weiter komme ich da mit der "Integration durch Substitution" korrekt?
Würde für mich dann aussehen wie folgt:
t=2*x
[mm] \bruch{dt}{dx}=2
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{2}=dx
[/mm]
Das setze ich dann bei dem Integral Dingen ein:
[mm] \integral{5*sin(t)\bruch{dt}{2}}
[/mm]
(Muss ich diesen Quatsch oben eigentlich machen? Kann ich nicht direkt das [mm] \bruch{dt}{2} [/mm] bei dem Integral eintragen? Also einfach [mm] \bruch{dt}{ableitung von dem, was in der klammer steht})
[/mm]
Jedenfalls hole ich dann die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor das Integral (warum geht das eigentlich? Und ginge das auch mit der 5?)
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{5*sin(t)dt}
[/mm]
Bilde das Integral und setze für t wieder mein 2*x ein:
[mm] =\bruch{1}{2}*(-5*cos(t))=-\bruch{5}{2}*cos(2*x)
[/mm]
Ist das korrekt gedacht und geschrieben?
Nun zu meinem dritten Versuch für folgendes Integral. Das ist mehr oder minder eine Mischung von Beidem:
[mm] \integral{x*sin(2*x)dx}
[/mm]
Ich habe hier schon einiges auf dem Papier versucht, aber ich komm irgendwie NULL auf die Lösung.
Rauskommen sollte folgendes Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{4}*cos(2*x)+\bruch{1}{2}*x*sin(2*x)
[/mm]
Leider sehen meine Ergebnisse total anders aus. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand im Detailerklären und zeigen könnte, wie ich das löse :-(
Und auch wie man da vorgeht. Für mich ist es schon unklar, wie ich anfangen soll. Zb. erst mit dieser seltsamen Substitution oder erst das von meinem ersten Versuch? Gibt es da irgendwie einen Trick, sich das leicht zu merken?
Vielen Dank im voraus
Grüße
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Do 27.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> Ohne die Klammern dann mein folgendes Ergebnis:
>
> [mm]x^{3}*sin(x)+3*x^{2}*cos(x)-6*x*sin(x)-6*cos(x)[/mm]
>
> Das Ergebnis stimmt, aber ist die Art und Weise, wie ich
> das aufschreib, denn so korrekt oder begehe ich irgendeinen
> schlimmen Schönheitsfehler?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sieht alles gut aus ...
> Im übrigen: Wie nennt man diese Integrationsmethode, die
> ich hier angewendet hab?
Dieses Verfahren nennt sich partielle Integration.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Do 27.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> Nun zu meinem dritten Versuch für folgendes Integral. Das
> ist mehr oder minder eine Mischung von Beidem:
> [mm]\integral{x*sin(2*x)dx}[/mm]
>
> Ich habe hier schon einiges auf dem Papier versucht, aber
> ich komm irgendwie NULL auf die Lösung.
Dann poste doch mal bitte Deine Rechnungen ...
> Und auch wie man da vorgeht. Für mich ist es schon unklar,
> wie ich anfangen soll. Zb. erst mit dieser seltsamen
> Substitution oder erst das von meinem ersten Versuch? Gibt
> es da irgendwie einen Trick, sich das leicht zu merken?
Beginne mit der partiellen Integration [mm] $\integral{u*v'} [/mm] \ = \ [mm] u*v-\integral{u'*v}$ [/mm] .
Setze dabei $u \ := \ x$ sowie $v' \ := \ [mm] \sin(2x)$ [/mm] .
Um nun hieraus $v_$ zu bestimmen, musst Du für $v \ = \ [mm] \integral{v'} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(2x) \ dx}$ [/mm] die Substitution $t \ := ß 2x$ durchführen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:50 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Auf gehts:
[mm] \integral{(x+2)*sin(x^{2}+4*x-6)dx} [/mm] |
Ahoi,
>
> Beginne mit der partiellen Integration [mm]\integral{u*v'} \ = \ u*v-\integral{u'*v}[/mm]
> .
>
> Setze dabei [mm]u \ := \ x[/mm] sowie [mm]v' \ := \ \sin(2x)[/mm] .
>
> Um nun hieraus [mm]v_[/mm] zu bestimmen, musst Du für [mm]v \ = \ \integral{v'} \ = \ \integral{\sin(2x) \ dx}[/mm]
> die Substitution [mm]t \ := ß 2x[/mm] durchführen.
>
vielen Dank für die Hilfe. der Denkantoß hat schon gereicht und ich konnte es dann richtig lösen.
Wollte mich dann mit dem Wissen direkt an meine eeeeigentlich Problemaufgabe setzen, welche oben beschrieben ist.
Leider habe ich da noch ein paar Probleme... Ich möchte folgendes Integral lösen:
[mm] \integral{(x+2)*sin(x^{2}+4*x-6)dx}
[/mm]
Anfangen möchte ich auch hier mit der partiellen Integration. Das würde ich dann wie folgt aufteilen:
[mm] \integral{\underbrace{(x+2)}_{u}*\underbrace{sin(x^{2}+4*x-6)}_{v'}dx}
[/mm]
u'=1
und um auf v zu kommen, benutze ich die Substitution wie folgt:
[mm] \integral{sin(x^{2}+4*x-6)dx}
[/mm]
[mm] \integral{sin(t)\bruch{dt}{2*x+4}}
[/mm]
Wie Loddar ja schrieb, darf ich "konstanste Faktoren" vor das Integral setzen:
[mm] \bruch{1}{2*x+4}*\integral{sin(t)dt}
[/mm]
Jetzt dieses lästige Integral loswerden, also Stammfunktion bestimmen und für t wieder den ursprünglichen Krams einsetzen:
[mm] \bruch{1}{2*x+4}*(-cos(x^{2}+4*x-6))
[/mm]
[mm] -\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2*x+4}
[/mm]
Nun habe ich nochmal zusammengefasst folgende Teile:
u=x+2
u'=1
[mm] v=-\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2*x+4}
[/mm]
[mm] v'=sin(x^{2}+4*x-6)
[/mm]
Jetzt weiter bei meiner partiellen Integration wie folgt:
[mm] u*v-\integral{u'*v}
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] (x+2)*(-\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2*x+4})-(\integral{-\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2*x+4}dx})
[/mm]
Als nächstes verkürze ich erstmal den ganzen Kram vor dem Minuszeichen:
[mm] (x+2)*(-\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2*x+4})
[/mm]
[mm] -\bruch{(x+2)*cos(x^{2}+4*x-6)}{(2*x+4)}
[/mm]
Das x Klammer ich dann oben und unten jeweils aus und kürze bissel rum:
[mm] -\bruch{x(1+\bruch{2}{x})*cos(x^{2}+4*x-6)}{x(2+\bruch{4}{x})}
[/mm]
[mm] -\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2})
[/mm]
Nochmal mit dem von oben zusammengefasst also meine partielle Integration:
[mm] -\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2})-(\integral{-\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2*x+4}dx})
[/mm]
So und ab hier hänge ich nun etwas fest. Rein prinzipiell würde ich ja jetzt die Integrale nach dem Minuszeichen weiter auflösen. Aber da hab ich ja dann 1. wieder eine partielle Integration vor mir und ebenfalls wieder eine Substitution oder? Würde ich das dann nicht "ewig" so weitermachen?
Sind meine Schritte bis dort hin denn wenigstens korrekt? Und ich würde mich freuen, würde mir jemand zeigen, wie ich weiter vorgehen muss, um an die Lösung zu kommen.
Die Lösung sollte übrigens wie folgt aussehen:
[mm] -\bruch{cos(x^{2}+4*x-6)}{2}
[/mm]
Lustigerweise sieht die Lösung genauso aus, wie der Teil, den ich vor dem Minuszeichen stehen hab -.-
Einerseits gefällt mir das, da ich der Lösung näher bin (zumindest dem Anschein nach), aber andererseits gruselt es mich, dass ich noch nicht fertig bin und da noch mehr kommt.
Nun denn ... Vielen Dank im voraus für die Hilfe!
Viele Grüße
Andi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:53 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Loddar,
>
> > [mm]\integral{(x+2)*sin(x^{2}+4*x-6)dx}[/mm]
>
> Das hier ist ja nun wiederum eine ganz andere Funktion als
> oben von Dir angegeben.
>
Jau, meine anderen Aufgaben waren nur kleine Übungsaufgaben für mich selbst, um die partielle Integration und Substitution zu lernen.
Die oben stehende Funktion ist mein eigentliches Problem.
>
> Das "schreit" hier förmlich nach der genannten
> Substitution, da für [mm]\blue{\sin(x^{\red{2}}+...)}[/mm] keine
> explizite Stammfunktion gebildet werden kann.
>
Aha? Warum kann man daraus eigentlich keine Stammfunktion bilden? Gibt es da bestimmte Merkmale, an denen man erkennen kann, ob das möglich ist oder nicht?
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]\bruch{1}{2*\red{x}+4}[/mm] ist kein
> konstanter Faktor. Da steckt doch unsere Variable [mm]\red{x}[/mm]
> mit drin!
>
Arg, mein Fehler, du hast natürlich recht.
>
> Aber rechne nun mal mit der o.g. Substitution ...
>
Also denn:
[mm] \integral{(x+2)*sin(x^2+4*x-6)dx}
[/mm]
ich substituiere:
[mm] \integral{(x+2)*sin(z)\bruch{dz}{2*(x+2)}}
[/mm]
Nun kann ich das (x+2) da wegkürzen? (Das ist manchmal echt erstaunlich, wo man überall ausklammern kann)
[mm] \integral{sin(z)\bruch{dz}{2}}
[/mm]
JETZT hab ich aber was konstantes im Bruch, was ich vor das Integral schreiben kann:
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{sin(z)dz}
[/mm]
Jetzt die Stammfunktion:
[mm] \bruch{1}{2}*(-cos(z))
[/mm]
Und noch ordentlich hinschreiben und den alten Kram wieder in den cos:
[mm] -\bruch{1}{2}*cos(x^2+4*x-6)+C
[/mm]
Ist das so korrekt gemacht?
Kann das wirklich so einfach sein? :-O
Danke und viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Nun hast Du es völlig berechnet.
> Aha? Warum kann man daraus eigentlich keine Stammfunktion
> bilden? Gibt es da bestimmte Merkmale, an denen man
> erkennen kann, ob das möglich ist oder nicht?
Das sind so spezielle verkettete Funktionen wie z.B. [mm] $\cos(x^2)$ [/mm] oder [mm] $\sin(x^3)$ [/mm] oder auch [mm] $e^{x^2}$ [/mm] (wenn sie jeweils für sich stehen).
Ansonsten erfodert es halt einige Übung, um derartiges zu erkennen ...
Gruß
Loddar
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Faktorregel