Integrationstheorie < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:28 Sa 22.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Betrachte Funktionen [mm] f_j\in \mathcal{L}^1 (j\in \IN).
[/mm]
(i) Sei [mm] \summe_{j=1}^{\infty}f_j [/mm] konvergent und in [mm] \mathcal{L}^1. [/mm] Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass [mm] \integral\summe_{j=1}^{\infty}f_j\neq \summe_{j=1}^{\infty}\integral f_j [/mm] gilt.
(ii) Zeigen Sie: [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\integral|f_j|<\infty, [/mm] so konvergiert [mm] \summe_{j=1}^{\infty}f_j [/mm] fast überall gegen eine integrierbare Funktion und es gilt [mm] \integral \summe_{j=1}^{\infty}f_j=\summe_{j=1}^{\infty}\integral f_j.
[/mm]
Seien [mm] X_j\subseteq [/mm] X [mm] (j\in \IN) [/mm] meßbare Teilmengen mit [mm] X_j \to [/mm] X. Weiter sei [mm] f:X\to\IR [/mm] eine meßbare Funktion, die über jedes [mm] X_j [/mm] integrierbar ist.
(iii) Falls [mm] \limes_{j \to \infty}\integral_{X_j}|f|<\infty, [/mm] so ist f auch über X integrierbar und es gilt [mm] \integral_{X}f=\limes{j \to \infty}\integral_{X_j}f. [/mm] |
Ich habe bis jetzt keine Ideen. Nur ein paar Notationssachen fallen mir ein:
Zu (i):
Es gilt: [mm] \summe_{j=1}^{\infty}f_j<\infty [/mm] (da der Ausdruck konvergent sen soll) und [mm] \integral |\summe_{j=1}^{\infty}f_j|<\infty [/mm] (da der Ausdruck in [mm] \mathcal{L}^1 [/mm] sein soll).
Kann mir jemand zu (i)-(iii) Tipps geben? Ich weiß nicht, wie ich wo anfangen kann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:51 Sa 22.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Kann man (ii) so zeigen? |
Man betrachte [mm] (\summe_{j=1}^{n}f_j)_{n\in \IN}. [/mm] Diese Folge ist monoton anwachsend und man kann den Satz über monotone Konvergenz anwenden sowie die Additivität des Integtrals ausnutzen:
[mm] \integral \summe_{j=1}^{\infty}f_j=\integral \limes_{n\to\infty}\summe_{j=1}^{n}f_j=\limes_{n\to\infty}\integral \summe_{j=1}^{n}f_j=\limes_{n\to\infty}\summe_{j=1}^{n}\integral f_j=\summe_{j=1}^{\infty}\integral f_j\leq \summe_{j=1}^{\infty}\integral |f_j|<\infty
[/mm]
Also
[mm] \integral \summe_{j=1}^{\infty}f_j\leq \summe_{j=1}^{\infty}\integral |f_j|=\integral \summe_{j=1}^{\infty} |f_j|<\infty
[/mm]
Ich weiß nicht, ob man das sagen kann, aber folgt daraus denn nicht:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}f_j\leq \summe_{j=1}^{\infty} |f_j|<\infty [/mm] fast überall?
Und hat man damit nicht gezeigt, dass [mm] \summe_{j=1}^{\infty} f_j [/mm] fast überall gegen eine integrierbare Funktion konvergiert [die Summe aus den [mm] |f_j| [/mm] ist doch eine integrierbare Funktion]?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:29 So 23.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich entschuldige mich, dass ich evtl. zu viele Fragen stelle, aber ich habe noch eine Frage zu (ii). Ich habe nämlich gelesen, dass man das mittels des Satzes von der majorisierten Konvergenz zeigen sollte.
Hier ist meine Idee. |
Ich habe folgendes Korollar gefunden, das aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz für die Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}f_k [/mm] folgt:
"Die Funktionen [mm] f,f_n:X\to \IK [/mm] seien meßbar, und es gebe eine integrierbare Funktion [mm] g\in \mathcal{M}^{+}, [/mm] so daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] |\summe_{k=1}^{n} f_k|\leq [/mm] g f.ü., und es sei [mm] f=\summe_{k=1}^{\infty}f_k [/mm] f.ü.. Dann sind [mm] f,f_n [/mm] integrierbar, und es gilt [mm] \integral_{X} f=\summe_{n=1}^{\infty}\integral_{X} f_n."
[/mm]
Das kann man doch jetzt übertragen auf (ii), oder?
Ich würde das jetzt einfach Stück für Stück abgehen:
Ich betrachte die Funktionen [mm] f=\summe_{j=1}^{\infty}f_j [/mm] und [mm] f_n=\summe_{j=1}^{n}f_j [/mm]
Dann gilt 1.) [mm] f=\limes_{n \to \infty}f_n [/mm] f.ü. [warum das f.ü. hier nötig ist, verstehe ich nicht ganz]
2.) Da gilt [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\integral |f_j|=\integral \summe_{j=1}^{\infty}|f_j|<\infty [/mm] und [mm] \integral |\summe_{j=1}^{\infty}f_j|\leq \integral \summe_{j=1}^{\infty}|f_j|<\infty, [/mm] würde ich sagen, dass somit [mm] g=\summe_{j=1}^{\infty}|f_j| [/mm] eine integrierbare Funktion ist.
Außerdem gilt dann ja [mm] |\summe_{j=1}^{k}f_j|\leq [/mm] g f.ü. [auch hier weiß ich wieder nicht, warum man hier das f.ü. braucht].
Jedenfalls sind meiner Meinung nach damit alle Bedingungen des Korollars erfüllt und dieses sagt dann ja aus, dass die Funktionen [mm] f,f_n [/mm] integrierbar sind, dass also [mm] \summe_{j=1}^{\infty}f_j [/mm] [gemeint ist hier sicher die Folge der Partialsummen] f.ü. gegen eine integrierbare Funktion (nämlich eben f) konvergiert und dass gilt [mm] \integral f=\summe_{j=1}^{\infty}\integral f_j.
[/mm]
Ich müsste jetzt nur noch wissen, was es mit diesen f.ü. im Korollar auf sich hat.
Kann es mir jemand erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 25.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mo 24.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 24.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
