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| Aufgabe | Hi, habe folgende Aufgabe/Problem:
kann man in irgendeiner Einheit angeben wiviel Farbe man brauchen würde um
die ganze Fläche unter: 1/x von 1 bis unendlich zu färben? |
anscheinend nicht, Integral ist je unendlich. ABER !!!!
das Volumen welches entsteht, wenn man diesen Graphen um die x-Achse rotiert, kann man sehr wohl berechnen.
Damit könnte man dann aber auch die Menge an benötigter Farbe angeben.
Weitere Gedanken von mir zu der Aufgabe sind: Wenn ich nun den Volumen
in kleine delta Volumen aufteile, könnte ich doch auch die Abschätzung für die Fläche bestimmen.
Ich komme hier nicht weiter. Kann man über diesen Weg doch irgendwie auf die Fläche kommen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 06.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast hier ein sog. uneigentliches Integral:
A(x)=
[mm] \integral_{1}^{\infty}\bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}\integral_{1}^{n}\bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}[\ln(n)-\ln(1)]
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}[\ln(n)-\ln(1)]
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}[\ln(n)]
[/mm]
Hilft das weiter?
Marius
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| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(n) = [mm] \infty [/mm] ?
aber [mm] \integral_{1}^{\infty}{(2*pi)/x^2 dx} [/mm] = konstanter Wert.
Dies ist aber das Volumen von der Fläche rotiert um die x-Achse.
Betrachte ich jetzt nur eine kleine (infisitimale) Rotation, meinen Wegen um 1/1000 eines Grades. Dann ist ja das so entstandene Volumen Teil des oben angegeben Volumens. Es ist aber gleichzeitig eine Abschätzung für die Fläche, oder ? |
wie kann man das nun in Verbindung setzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 06.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
es gilt ja auch [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}= [/mm] 1,
aber die "Bogenlänge" [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{\wurzel{1+f'(x)^{2}} }dx [/mm] existiert nicht.
Lg
Heiko
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| Aufgabe | | was soll es denn mir bringen? |
Meine Frage habe ich gestellt, denn sie interessiert mich schon seit der Schule?
Vor kurzem habe ich mich wieder daran erinnert, und möchte es nun verstehen.
Wie kann es dass die Fläche unendlich ist, aber ein Volumen zusammengesetzt aus diesen Flächen endlich???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Fläche und Volumen sind zwei Paar Schuhe.
Für das Volumen spielt nicht nur die Querschnittsfläche, sondern auch noch die Ausdehnung in der dritten Dimension eine Rolle. Wenn diese sehr schnell gegen 0 konvergiert, nützt das dem Volumen wenig; es bleibt bei einem endlichen Wert.
Ein analoges Beispiel für eine Dimension weniger: Die Fläche zwischen den Funktionsgraphen $y(x) = [mm] \pm \bruch{1}{x^2}$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $[1,\infty]$ [/mm] ist endlich; trotzdem kannst Du bei $y=0$ eine unendliche Gerade durchlegen. Hier spielt eben noch die Breite eine Rolle, die schnell gegen 0 geht.
Gruß,
Kay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Mi 07.03.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
Mir ist noch was eingefallen, was dich vielleicht ueberzeugt:
nimm einen Wuerfel [mm] 1LE^3 [/mm] , teil ihn in 2 Teile, Volumen bleibt, "Schnitt"flaeche verdoppelt. Teile weiter, leg die jeweils halbierten Teile nebeneinander, Gesamtvolumen bleibt immer [mm] 1LE^3 [/mm] die Flaeche verdoppelt sich mit jeder Halbierung. nach n halbierungen hast du ne Flaeche von [mm] 2^n LE^2 [/mm] und immer noch Volumen [mm] 1LE^3
[/mm]
und jetzt lass n gegen [mm] \infty [/mm] gehen! Willst du all die Flaechen auch nur wenn n=10000 ist mit [mm] 1LE^3 [/mm] Farbe anmalen?
Bei unendlich versagt unsere Vorstellung!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mi 07.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die flaeche kannst du auf diesem Weg sicher nicht berechnen. Ob eine Volumenfuellung voll farbe reicht, diese unendliche flaeche anzumalen, waag ich nicht auszudenken. An der Spitze (gegen [mm] \infty) [/mm] wird das Volumen so klein, dass keine ganzen Farbmolekuele mehr reinpassen!. Wenn du die "Dicke des Anstrichs angibtst, etwa 0,01mm hoch, dann haben die Farbteilchen ein Volumen von [mm] 10^{-6}mm^3 [/mm] und du kannst ausrechnen, dass in die Ganze Spitze von a bis [mm] \infty [/mm] nur ein einziges Farbteilchen reinpasst! a noch zu bestimmen, je nach Goesse der Farbteilchen. (mit unendlich duenner Farbe kannst du deine unendliche flaeche natuerlich auch anstreichen, dann brauchst du nur [mm] 1cm^3 [/mm] und wenn das zu teuer ist nur [mm] 1mm^3)
[/mm]
Und den Teil von 1 bis a kannst du ja auch die Flaeche ausrechen und die Farbmenge berechnen.
Das scheinbar paradoxe liegt daran, dass wie uns Volumengroessen immer leicht falsch vorstellen: halbiert man den Radius einer Kugel, so ist ihr Volumen nur noch 1/8, nimmt man 1/100 des Radius ist das Volumen nur noch 1/1000000 !
Deine Rotationsflaeche aehnelt ja entfernt einem Kegel, Spitze in [mm] \infty, [/mm] wenn du die Hoehe eines kegels halbierst, ist die Querschnittsflaeche 1,4, aber das Volumen 1/8
Bei dem Vorliegenden kegel ists noch schlimmer, weil die Spitze ja immer duenner wird.
Leider, aus [mm] \infty [/mm] kann man nicht durch rumrechnen was endliches machen!
Gruss leduart
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Hallo leduard, danke für deine letzte antwort, dies hat mich fast überzeugt.
aber:
Rimannsche Zahlenkugel?
ich bin auf dem Gebiet sehr schwach, aber Unendlich ist ja auch auf der Kugel, sogar 2 Mal, (unten und oben) 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mi 07.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
durch die stereographische Projektion von [mm] \IC [/mm] auf die Riemansche Zahlenkugel wird nur einem Pol der Wert [mm] \infty [/mm] zugeordnet (meist der Nordpol)
Es ist eine Möglichkeit die Umgebungen der unendlich vielen Richtungen in der man in [mm] \IC [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] gehen kann , durch die Umgebung des Nordpols auf der Zahlenkugel zu beschreiben.
MfG
Heiko
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