Integrierbarkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 So 25.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei f(x) := [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für }x \in \IQ \\ 0 & sonst \end{cases}
[/mm]
Sei a < 0 < b. Ist f über [a,b] integrierbar? |
Rationale Zahlen liegen dicht in [mm] \IR. [/mm] Allerdings sind rationale Zahlen abzählbar - und irrationale Zahlen überabzählbar unendlich.
Meine Vermutung: Da die Funktion überabzählbar unendlich viele Unstetigkeitsstellen hat, ist sie nicht integrierbar.
Mein Problem: Selbst wenn ja, habe ich keine Ahnung, wie ich das zeige/beweise...
Mein weiteres Problem: "Integrierbar" zu zeigen - auch in anderen Fällen.
Was ich weiß: Stetige Funktionen sind integrierbar. Stetig ergänzbare Funktionen sind integrierbar. Es gibt aber auch viele nicht-stetige Funktionen, die integrierbar sind...
Was mir fehlt, sind "echte"/"brauchbare" KO-Kriterien für Integrierbarkeit. Davon ist in der Vorlesung kein einziger aufgetaucht. Gibt es da überhaupt welche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 So 25.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst schon genauer erklären, welchen Integralbegriff ihr verwendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 So 25.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
In aller Regel Riemann-integrierbar. Das ist auch hier gemeint. Sorry für die Ungenauigkeit. 
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Hallo,
es geht also um das [mm] \mathcal{R}-Integral.
[/mm]
Dabei approximiert man die Funktion doch durch Ober- und Unterintegral. Gilt dann [mm] \int^{\ast} [/mm] = [mm] \int_{\ast}, [/mm] so ist die Funktion Riemann-integrierbar.
Kannst du bei dieser Funktion das Ober- und Unterintegral bestimmen?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 26.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Patrick!
Da musste ich mir jetzt erst einmal Unter- und Obersumme noch einmal genauer anschauen. (allein das hat sich schon gelohnt. ).
Für die Untersumme erhalte ich [mm] U(f,\zeta) [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n}m_i(x_i [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = 0,
da [mm] m_i [/mm] = [mm] m_i(f,\zeta) [/mm] = inf(f(x) : [mm] x_{i-1} \le [/mm] x [mm] \le x_i) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i.
Hingegen ist die Obersumme [mm] \ge [/mm] 0 f.f.a. i anzunehmen.
Dies folgere ich aus den Eigenschaften von [mm] \IQ [/mm] (abzählbar, dicht in [mm] \IR) [/mm] und der Menge der irrationalen Zahlen (überabzählbar unendlich).
Und da Unterintegral (= [mm] sup(U(f,\zeta)) [/mm] und Oberintegral (= [mm] inf(O(f,\zeta)) [/mm] ungleich sind, ist die Funktion nicht integrierbar.
Korrekter Grundgedanke? Wenn ja, wie könnte man das besser argumentieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Patrick!
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> Da musste ich mir jetzt erst einmal Unter- und Obersumme
> noch einmal genauer anschauen. (allein das hat sich schon
> gelohnt. ).
>
> Für die Untersumme erhalte ich [mm]U(f,\zeta)[/mm] :=
> [mm]\summe_{i=1}^{n}m_i(x_i[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = 0,
> da [mm]m_i[/mm] = [mm]m_i(f,\zeta)[/mm] = inf(f(x) : [mm]x_{i-1} \le[/mm] x [mm]\le x_i)[/mm] =
> 0 [mm]\forall[/mm] i.
>
O.K.
> Hingegen ist die Obersumme [mm]\ge[/mm] 0 f.f.a. i anzunehmen.
>
Wir können [a,b] = [0,1] annehmem . Für n in [mm] \IN [/mm] wähle die äquidistante Zerlegung [mm] Z_n [/mm] = { 0, 1/n, 2/n, ..., n/n }. Ist dann [mm] O_n [/mm] die zu [mm] Z_n [/mm] geh. Obersumme, dann gilt (nachrechnen !!):
[mm] O_n [/mm] ---> 1/2 (n--> [mm] \infty)
[/mm]
Was bedeutet das im Hinblick auf Integrierbarkeit ??
FRED
> Dies folgere ich aus den Eigenschaften von [mm]\IQ[/mm] (abzählbar,
> dicht in [mm]\IR)[/mm] und der Menge der irrationalen Zahlen
> (überabzählbar unendlich).
>
> Und da Unterintegral (= [mm]sup(U(f,\zeta))[/mm] und Oberintegral (=
> [mm]inf(O(f,\zeta))[/mm] ungleich sind, ist die Funktion nicht
> integrierbar.
>
> Korrekter Grundgedanke? Wenn ja, wie könnte man das besser
> argumentieren?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:12 Di 27.01.2009 | | Autor: | Marc87 |
Hallo,
ich hab das Problem, dass ich scheinbar irgendwo beim Verstehen des Lösungsansatzes einen Denkfehler habe.
Das Intervall ist doch mit a < 0 < b vorgegeben. Wenn ich nun also die Untersumme bilde, ist doch nur für positive Werte das mi= inf(f(x) = 0 . Für negative Werte hingegen müsste doch die Summe $ [mm] \summe_{i=1}^{n}m_i(x_i [/mm] $ - $ [mm] x_{i-1}) [/mm] $ < 0 sein, da das inf der Funktionswerte ja durch das das jeweilige rationale x festgelegt sein muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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