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Integrierbarkeit der Kehrwertf: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 So 12.04.2015
Autor: phifre

Aufgabe
Ist $f$ integrierbar und beschränkt auf $[a,b]$ und gibt es ein $k > 0$ mit $|f(x)| [mm] \ge [/mm] k$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$, so ist $1/f$ Riemann integrierbar.




Hallo zusammen,

ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß überhaupt nicht, wie man da rangehen soll..
Was passiert, wenn $f$ gegen Null konvergiert, dann wächst 1 durch die Funktion doch über alle Schranken?

Muss man für den Beweis eine Zerlegung wählen, weil man ja schon weiß, dass für jede Zerlegung das Ober- und Unterintegral von $f$ gleich sind?


Vielen Dank für einen Denkanstoß!

phifre

        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 So 12.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Ist [mm]f[/mm] integrierbar und beschränkt auf [mm][a,b][/mm] und gibt es
> ein [mm]k > 0[/mm] mit [mm]|f(x)| \ge k[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm], so ist
> [mm]1/f[/mm] integrierbar.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß überhaupt
> nicht, wie man da rangehen soll..

wie lautet die Aufgabe? Was da steht ist lediglich eine Behauptung oder ein Satz.

>  Was passiert, wenn [mm]f[/mm] gegen Null konvergiert, dann wächst
> die Umkehrfunktion doch über alle Schranken?

Meinst du die Umkehrfunktion oder $1/f$? Das ist nicht das gleiche.

>
> Muss man für den Beweis eine Zerlegung wählen, weil man
> ja schon weiß, dass für jede Zerlegung das Ober- und
> Unterintegral von [mm]f[/mm] gleich sind?

Wichtig wäre, erstmal zu klären, wie die Aufgabe genau lautet.

>  
>
> Vielen Dank für einen Denkanstoß!
>  
> phifre

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:15 So 12.04.2015
Autor: phifre

Hallo,

die Aufgabe ist, genau das zu beweisen..

Sorry, mit Umkehrfunktion hab ich mich vertan. Ich meinte 1 durch den Funktionswert.
Mit $1/f$ ist nicht die Umkehrfunktion gemeint.

Bezug
                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Titel modifiziert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> die Aufgabe ist, genau das zu beweisen..
>  
> Sorry, mit Umkehrfunktion hab ich mich vertan. Ich meinte 1
> durch den Funktionswert.
>  Mit [mm]1/f[/mm] ist nicht die Umkehrfunktion gemeint.

ich habe [mm] $1/f\,$ [/mm] mal "Kehrwertfunktion" getauft und dahingehend Deinen Titel
abgeändert.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:32 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Ist [mm]f[/mm] integrierbar und beschränkt auf [mm][a,b][/mm] und gibt es
> ein [mm]k > 0[/mm] mit [mm]|f(x)| \ge k[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm], so ist
> [mm]1/f[/mm] integrierbar.

ich weiß gerade nicht, ob das hilfreich sein wird, aber bei der Aufgabe denke
ich sofort an

    [mm] $\frac{d}{dx}\ln(f)=\frac{1}{f}*f\,'=\frac{1}{f}*\frac{df}{dx}$ [/mm]    (oder [mm] $\int f\,'/f\,dx=\int \frac{df/dx}{f}dx=\int \frac{1}{f}df=\ln(f)+C$) [/mm]

Das könnte eine Richtung vorgeben, sofern Du ansonsten keine Idee hast.
Und vielleicht nimmt mein der Einfachheit wegen erstmal [mm] $f\,$ [/mm] als stetig an und
damit o.E. $f > [mm] 0\,.$ [/mm]

Auf *allgemeineres* kann man ja später immer noch gucken...

P.S. [mm] $\int \frac{f\,'}{f}dx=\int f\,'*\frac{1}{f}dx$ [/mm] kann man zudem ja auch einfach mal partiell integrieren...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 So 12.04.2015
Autor: notinX

Hallo Marcel,

> Hallo,
>  
> > Ist [mm]f[/mm] integrierbar und beschränkt auf [mm][a,b][/mm] und gibt es
> > ein [mm]k > 0[/mm] mit [mm]|f(x)| \ge k[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm], so ist
> > [mm]1/f[/mm] integrierbar.
>  
> ich weiß gerade nicht, ob das hilfreich sein wird, aber
> bei der Aufgabe denke
>  ich sofort an
>  
> [mm]\frac{d}{dx}\ln(f)=\frac{1}{f}*f\,'=\frac{1}{f}*\frac{df}{dx}[/mm]
>  
> Das könnte eine Richtung vorgeben, sofern Du ansonsten
> keine Idee hast.
>  Und vielleicht nimmt mein der Einfachheit wegen erstmal
> [mm]f\,[/mm] als stetig an und

Glaubst Du, das ist eine gute Idee?
Wenn man f als stetig annimmt, folgt daraus die Stetigkeit von 1/f und damit auch die Integrierbarkeit. Dann wäre ja quasi nichts zu tun.

> damit o.E. [mm]f > 0\,.[/mm]
>  
> Auf *allgemeineres* kann man ja später immer noch
> gucken...
>  
> Gruß,
>    Marcel

Gruß,

notinX

Bezug
                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> > Hallo,
>  >  
> > > Ist [mm]f[/mm] integrierbar und beschränkt auf [mm][a,b][/mm] und gibt es
> > > ein [mm]k > 0[/mm] mit [mm]|f(x)| \ge k[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm], so ist
> > > [mm]1/f[/mm] integrierbar.
>  >  
> > ich weiß gerade nicht, ob das hilfreich sein wird, aber
> > bei der Aufgabe denke
>  >  ich sofort an
>  >  
> >
> [mm]\frac{d}{dx}\ln(f)=\frac{1}{f}*f\,'=\frac{1}{f}*\frac{df}{dx}[/mm]
>  >  
> > Das könnte eine Richtung vorgeben, sofern Du ansonsten
> > keine Idee hast.
>  >  Und vielleicht nimmt mein der Einfachheit wegen erstmal
> > [mm]f\,[/mm] als stetig an und
>
> Glaubst Du, das ist eine gute Idee?
>  Wenn man f als stetig annimmt, folgt daraus die Stetigkeit
> von 1/f und damit auch die Integrierbarkeit. Dann wäre ja
> quasi nichts zu tun.

klar. Mir geht es eher darum, dass man vielleicht eine Formel für [mm] $\int [/mm] (1/f)dx$ herleiten
kann. Und sich dann nochmal anguckt, welche Voraussetzungen man dafür
wirklich nur braucht.

Aber Du hast Recht: Man bräuchte in diesem Fall keine Rechnung, sondern
kann die Integrierbarkeit der Kehrwertfunktion direkt mit einer einfachen
Argumentationskette herleiten.
  

> > damit o.E. [mm]f > 0\,.[/mm]
>  >  
> > Auf *allgemeineres* kann man ja später immer noch
> > gucken...

Ist jetzt klarer, was meine eigentliche Strategie ist? :-)

Ich weiß auch, wie gesagt, nicht, ob das so funktioniert. ^^

P.S. Aber auch ohne Rechnung: Vielleicht kann man dennoch diese
Argumentation verwenden. Man zerlege [mm] $f\,=f^++f^{-}$ [/mm] in Positiv- und
Negativteil.
Dann muss man vielleicht noch alles ein wenig *zusammenfrickleln*...

Btw.: Sind auf-[a,b]-Riemann-integrierbare Funktion nicht sowieso notwendig
beschränkt?
Und soweit ich weiß: Die haben auch nur endlich viele Unstetigkeitsstellen...

Edit: Ne, bei dem Durchgestrichenen habe ich Quatsch erzählt. Aber sowas
kann man ja auch nochmal nachschlagen (habe ich ja auch getan). ;-)
Aber: Die haben höchstens ABZÄHLBAR VIELE Unstetigkeitsstellen. Vielleicht
kann man das benutzen, und diese dann "von klein nach groß sortiert" annehmen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 So 12.04.2015
Autor: abakus

Hallo,
mir fehlt hier ein Stück des theoretischen Hintergrunds, vielleicht ist es eine dumme Frage:
Müssten beschränkte integrierbare Funktionen nicht wenigstens stückweise stetig sein?

Bezug
                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Integrierbarkeitsbegriff
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo Abakus,

> Hallo,
>  mir fehlt hier ein Stück des theoretischen Hintergrunds,
> vielleicht ist es eine dumme Frage:
>  Müssten beschränkte integrierbare Funktionen nicht
> wenigstens stückweise stetig sein?

ich glaube, wir müssten erstmal rausfinden, welche Art der Integrierbarkeit
gemeint ist. Es gibt da mehrere Theorien, und zwei von denen sind die, die
eigentlich *stets* benutzt werden: Lebesgue- oder Riemann.

Natürlich gibt es da auch gewisse Zusammenhänge, es ist aber auch die
Frage, welche davon schon bekannt sind.

Edit: Ich habe aber gerade gemerkt, warum ich mich selbst direkt auf
Riemann eingeschossen hatte: Da steht ja, dass 1/f Riemann-integrierbar
sein soll. Also f vermutlich auch!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  mir fehlt hier ein Stück des theoretischen Hintergrunds,
> vielleicht ist es eine dumme Frage:
>  Müssten beschränkte integrierbare Funktionen nicht
> wenigstens stückweise stetig sein?

ich glaube, dass das nicht notwendig ist. Recherchen liefern mir auch den
Satz nur umgekehrt, also kurz: wenn stückweise stetig, dann Riemann-int'bar.
Schließt aber nicht aus, dass ich da nicht vielleicht etwas übersehen habe.
Viele meinen übrigens mit *stückweise stetig* auch nur *Stetigkeit auf
endlich vielen(!) Teilstücken*.
Diesen Begriff kann man auch anders definieren...

P.S. []http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=82389&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D2%26ved%3D0CCcQFjAB

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 So 12.04.2015
Autor: tobit09

Hallo Marcel!


>  Viele meinen übrigens mit *stückweise stetig* auch nur
> *Stetigkeit auf
>  endlich vielen(!) Teilstücken*.

So hätte ich diesen Begriff zumindest im Falle einer Funktion der Form [mm] $[a,b]\to\IR$ [/mm] auch verstanden.

>  Diesen Begriff kann man auch anders definieren...

Das würde mich interessieren. Wie sähe eine andere Definition aus?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:02 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo Marcel!
>  
>
> >  Viele meinen übrigens mit *stückweise stetig* auch nur

> > *Stetigkeit auf
>  >  endlich vielen(!) Teilstücken*.
>  So hätte ich diesen Begriff zumindest im Falle einer
> Funktion der Form [mm][a,b]\to\IR[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

auch verstanden.

>  
> >  Diesen Begriff kann man auch anders definieren...

>  Das würde mich interessieren. Wie sähe eine andere
> Definition aus?

Äquivalent gibt es natürlich auch die Definition, dass $f\,$ auf $[a,b]$ mit Ausnahme
von endlichen vielen Stellen stetig ist.

Eine andere mögliche Definition, die ich aber - ehrlich gesagt - so noch nie
gesehen habe (außer bei einem meiner Dozenten, der sie in der
Warscheinlichkeitstheorie wohl aus *Faulheitsgründen* benutzt hat):
Ich könnte sagen: $f\,$ heißt auf $[a,b]$ stückweise stetig, wenn es eine Folge
von Zahlen $a_n$ mit $a \le a_n \le b$ und $a_n \to b$ so gibt, dass mit $a_0:=a$ gilt

    -    ${(a_n)}_n$ wächst streng
    -    $\left.f\right|_{(a_{n-1},\;a_{n)}$ ($n \in \IN$) ist stetig.

Vielleicht gibt's da auch schon irgendwie Probleme, wenn man sich *das
vorstellen will* oder *wie brauchbar eine solche Definition ist*, ich hoffe nur,
dass ich zumindest dahingehend nichts übersehe, dass ich da etwas
Nichtwohldefiniertes hinschreibe. Aber ansonsten kann ich mich ja darauf
berufen, dass ich zum einen natürlich definieren könnte, was immer ich
will, und zum anderen, dass ich jetzt diese Definition nicht *begrifflich
unpassend* finden würde.

Aber wir sollten halt schon dabei bleiben, wie die übliche Definition ist, bzw.
ihre Charakterisierung mit "Stetigkeit bis auf endlich viele Ausnahmepunkte".
Ansonsten müßte man dann auch bei entsprechenden Sätzen wieder
genauer hingucken.

P.S. Ich sehe gerade, dass ich das besser tatsächlich noch allgemeiner
hinschreiben würde:
Für $(a_k)_{k \red{\,\in \IZ}} \in [a,b]^{\IZ}$ sei durchweg $a_{k-1} \le a_k$ und es gelte

    $\lim_{n \to \infty}a_{\,-\,n}=a$ und $\lim_{n \to \infty}a_n=b$

und alle $\left.f\right|_{(a_{k},\,a_{k+1})}$ seien stetig. Dann wollen wir $f\,$ stückweise stetig
auf $[a,\,b]$ nennen!

Oben hätte ich einer Intervallgrenze eine *stärkere Bedeutung* gegeben
als der anderen.

Und wenn ich mich gerade ganz richtig erinnere, muss ich das auch korrigieren:
Der Dozent benutzte den Begriff "Treppenfunktion" in einer "allgemeineren
Fassung", gar nicht dieses *stückweise stetig*. Da habe ich was durcheinandergebracht.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 So 19.04.2015
Autor: tobit09

Hallo nochmal,

nachträglich noch ein kleiner Hinweis:

> Recherchen
> liefern mir auch den
>  Satz nur umgekehrt, also kurz: wenn stückweise stetig,
> dann Riemann-int'bar.

Hier ist mit stückweiser Stetigkeit eine stärkere Eigenschaft gemeint als "nur endlich viele Unstetigkeitsstellen".

EDIT: Im Folgenden meine ich die Funktion

     [mm] $\red{[-1,1]\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}}$. [/mm]


Beispielsweise hat die Funktion [mm] $[-1,1]\to\IR,\;x\mapsto\frac{1}{x}$ [/mm] zwar nur eine Unstetigkeitsstelle, ist aber nicht beschränkt und somit nicht Riemann-integrierbar.

Viele Grüße
Tobias

P.S.: Danke Marcel für deine Antwort auf meine Frage nach alternativer Definition stückweiser Stetigkeit!

Bezug
                                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: "1/0 gibt es nicht..."
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 So 19.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo nochmal,
>  
> nachträglich noch ein kleiner Hinweis:
>  
> > Recherchen
> > liefern mir auch den
>  >  Satz nur umgekehrt, also kurz: wenn stückweise stetig,
> > dann Riemann-int'bar.
>  Hier ist mit stückweiser Stetigkeit eine stärkere
> Eigenschaft gemeint als "nur endlich viele
> Unstetigkeitsstellen".
>  
> Beispielsweise hat die Funktion
> [mm][-1,1]\to\IR,\;x\mapsto\frac{1}{x}[/mm] zwar nur eine
> Unstetigkeitsstelle, ist aber nicht beschränkt und somit

die Funktion hat überhaupt keine Unstetigkeitsstelle - sie wird eine bekommen,
wenn Du "1/0" definierst, oder besser: Definiere für obige Funktion den
Funktionswert an der Stelle 0.

Nebenbei: Vermutlich wird in dem Satz genauer drinstehen, dass die Funktion
auch beschränkt sein soll. Im Detail habe ich es mir nicht angesehen, da
wir eh die andere Richtung diskutierten...

P.S. $f [mm] \colon [/mm] [-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1/x\,$ [/mm] kannst Du nicht hinschreiben; Du kannst
höchstens [mm] $f(x):=1/x\,$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [-1,1] [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] hinschreiben und mußt dann [mm] $f(0)\,$ [/mm]
separat definieren (solange Du [mm] *$1/0\,$ [/mm] noch nicht als *irgendeine
reelle Zahl definiert hast*; zum Beispiel solltest Du auch nicht [mm] $1/0:=\infty$ [/mm]
setzen, weil dann $f [mm] \colon [/mm] ... [mm] \to \red{\IR}$ [/mm] falsch wäre, sagt man doch: Sei [mm] $\infty$ [/mm] ein Symbol
mit [mm] $\infty \notin \IC$ ($\notin \IR$ [/mm] würde hier auch reichen).
Von der *Wirkung* her ist das aber das gleiche, als wenn Du bei Deiner Notation
auch noch [mm] $1/0:=a\,$ [/mm] für eine (Deiner Ansicht nach geeignete) Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] setzt!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 So 19.04.2015
Autor: tobit09

Ups, wie peinlich, danke für die Korrektur!

Ich meinte eigentlich

     [mm] $[-1,1]\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}$. [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 So 19.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Ups, wie peinlich,

ach Quatsch, ich habe schon gemerkt, worauf Du hinaus wolltest. Du hattest
eben einfach nur den 1/0-Term dabei nicht bedacht, er spielt aber auch
keine allzugroße Rolle.

> danke für die Korrektur!
>  
> Ich meinte eigentlich
>  
> [mm][-1,1]\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}[/mm].

Wie gesagt: Solange Du der 0 irgendeinen Wert aus [mm] $\IR$ [/mm] zuordnest, wird damit
ja das, worauf Du hinaus wolltest, hieb- und stichfest. Ich wollte nur deshalb
darauf aufmerksam machen, weil ich zu meinen Schulzeiten durchaus von
einigen Lehrern (allerdings war es keiner meiner Mathelehrer, die waren
dahingehend alle tatsächlich *richtig* gelehrt) zu hören bekommen hatte,
dass doch "die 1/x-Funktion unstetig sei". Und die meinten damit

    $f [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1/x\,.$ [/mm]

Die behaupten also, dass diese Funktion nicht(!) stetig sei. Bisher habe ich
aber noch keine Definition kennengelernt, die diese Aussage unterstützt,
sondern aus allen geht immer hervor:

    Obiges [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig!

Warst übrigens nicht Du es, der mal sagte, dass im Heuser irgendwo steht,
dass eine Funktion nur an einer Stelle weder stetig noch unstetig sein
kann, wenn diese nicht zum Definitionsbereich gehört? Es könnte auch
DieAcht gewesen sein.

Auf jeden Fall hat obiges [mm] $f\,$ [/mm] keine Unstetigkeitsstelle - sie ist damit in der
Tat (komplett) stetig!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 So 19.04.2015
Autor: DieAcht

Hallo zusammen,


> > Ich meinte eigentlich
> >  

> > [mm][-1,1]\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}[/mm].

Darf man das wirklich so schreiben? Irgendwie muss doch die
Abbildung einen "Namen" bekommen, zum Beispiel

      [mm] $f\colon[-1,1]\to\IR\colon x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}$. [/mm]

> Wie gesagt: Solange Du der 0 irgendeinen Wert aus [mm]\IR[/mm]
> zuordnest, wird damit
>  ja das, worauf Du hinaus wolltest, hieb- und stichfest.
> Ich wollte nur deshalb
>  darauf aufmerksam machen, weil ich zu meinen Schulzeiten
> durchaus von
>  einigen Lehrern (allerdings war es keiner meiner
> Mathelehrer, die waren
>  dahingehend alle tatsächlich *richtig* gelehrt) zu hören
> bekommen hatte,
>  dass doch "die 1/x-Funktion unstetig sei". Und die meinten
> damit
>  
> [mm]f \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=1/x\,.[/mm]
>  
> Die behaupten also, dass diese Funktion nicht(!) stetig
> sei. Bisher habe ich
> aber noch keine Definition kennengelernt, die diese Aussage
> unterstützt,
> sondern aus allen geht immer hervor:
>
> Obiges [mm]f\,[/mm] ist stetig!

Ich glaube, dass ein paar Schullehrer die Hochschulmathematik
komplett "vergessen" und dann nur noch mit

      "Eine Funktion heißt stetig, falls man diese ohne den
      Stift abzusetzen zeichnen kann."

"arbeiten". Man sollte dabei aber beachten, dass dieser Satz
vorne und hinten nicht stimmt. Das ist aber nur eine Vermu-
tung, die ich noch nicht nachprüfen konnte.

> Warst übrigens nicht Du es, der mal sagte, dass im Heuser
> irgendwo steht,
> dass eine Funktion nur an einer Stelle weder stetig noch
> unstetig sein
> kann, wenn diese nicht zum Definitionsbereich gehört? Es
> könnte auch
> DieAcht gewesen sein.

Diese Frage hat mir mein Professor in meiner Analysis Prüfung
gestellt und ich habe ihm mit dem Zitat aus Heuser geantwortet.
Dann hat er kurz gegrinst. Irgendwann frage ich ihn noch nach
dem Grund seines Grinsens, aber vermutlich hat er es schon ver-
gessen. :-)


Beste Grüße
DieAcht

Bezug
                                                                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 So 19.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo zusammen,
>  
>
> > > Ich meinte eigentlich
>  > >  

> > > [mm][-1,1]\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}[/mm].
>
> Darf man das wirklich so schreiben? Irgendwie muss doch
> die
>  Abbildung einen "Namen" bekommen, zum Beispiel
>  
> [mm]f\colon[-1,1]\to\IR\colon x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{ für }x\not=0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}[/mm].

ja, ist schon besser. Aber wenn man "von der Abbildung" redet, und klar
ist, dass diese gemeint ist, kann man den Namen auch mal vergessen.
Man redet *oft* ja auch, was ich irgendwie teilweise auch etwas grausam,
andererseits aber doch wieder praktikabel, finde, etwa von der Abbildung [mm] $x^7\,.$ [/mm]

> > Wie gesagt: Solange Du der 0 irgendeinen Wert aus [mm]\IR[/mm]
> > zuordnest, wird damit
>  >  ja das, worauf Du hinaus wolltest, hieb- und stichfest.
> > Ich wollte nur deshalb
>  >  darauf aufmerksam machen, weil ich zu meinen
> Schulzeiten
> > durchaus von
>  >  einigen Lehrern (allerdings war es keiner meiner
> > Mathelehrer, die waren
>  >  dahingehend alle tatsächlich *richtig* gelehrt) zu
> hören
> > bekommen hatte,
>  >  dass doch "die 1/x-Funktion unstetig sei". Und die
> meinten
> > damit
>  >  
> > [mm]f \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR[/mm] mit [mm]f(x):=1/x\,.[/mm]
>  >  
> > Die behaupten also, dass diese Funktion nicht(!) stetig
> > sei. Bisher habe ich
> > aber noch keine Definition kennengelernt, die diese Aussage
> > unterstützt,
> > sondern aus allen geht immer hervor:
> >
> > Obiges [mm]f\,[/mm] ist stetig!
>  
> Ich glaube, dass viele Schullehrer die Hochschulmathematik
>  komplett "vergessen" und dann nur noch mit
>  
> "Eine Funktion heißt stetig, falls man diese ohne den
>        Stift abzusetzen zeichnen kann."
>  
> "arbeiten". Man sollte dabei aber beachten, dass dieser
> Satz
>  vorne und hinten nicht stimmt. Das ist aber nur eine
> Vermutung, die ich noch nicht nachprüfen konnte.

Inwiefern? Ich meine, nimm mal

    [mm] $f(x):=x^2*\mathds{1}_{\IQ}$. [/mm]

Den Graphen könnte man zeichnen, ohne abzusetzen, das Problem dabei
wäre nur, dass das nicht geht, wenn man zuvor sagt, dass man *nur*
entweder von links nach rechts oder von rechts nach links zeichnen darf.
Zudem die stetige Funktion $f [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1/x\,:$ [/mm]
Ich kann diesen Graphen nicht zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Ich
denke, da spielen viele Dinge eine Rolle: Sowas wie zusammenhängender
Definitionsbereich, *Richtung der Zeichenbewegung* etc. pp. (vielleicht muss
man auch konkreter werden mit Häufungspunkten usw. usf., ich weiß es auch
nicht ganz genau).
Aber so schön das anschaulich auch klingen mag: Eigentlich ist es nur
etwas *suggestives*. Wir haben doch ordentliche Definitionen, also arbeite
man doch auch mit diesen. Sein Ergebnis anschaulich nochmal zu verdeutlichen,
finde ich genauso okay, wie, zu versuchen, Beweisideen oder Beweisskizzen
über Anschauung zu bekommen/erstellen. Es erspart aber eben nicht den
Beweis per se.

> > Warst übrigens nicht Du es, der mal sagte, dass im Heuser
> > irgendwo steht,
>  > dass eine Funktion nur an einer Stelle weder stetig noch

> > unstetig sein
> > kann, wenn diese nicht zum Definitionsbereich gehört? Es
> > könnte auch
> > DieAcht gewesen sein.
>  
> Diese Frage hat mir mein Professor in meiner Analysis
> Prüfung
>  gestellt und ich habe dieses Zitat gebracht. ;-)

Immerhin hatte ich im Hinterkopf, dass es einer von Euch beiden war. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 So 12.04.2015
Autor: tobit09

Hallo zusammen,


>  mir fehlt hier ein Stück des theoretischen Hintergrunds,
> vielleicht ist es eine dumme Frage:
>  Müssten beschränkte integrierbare Funktionen nicht
> wenigstens stückweise stetig sein?

Es gibt monotone (und somit Riemann-integrierbare) Funktionen [mm] $[a,b]\to\IR$ [/mm] (a<b), die in allen Punkten aus [mm] $[a,b]\cap\IQ$ [/mm] unstetig sind.

Solche Funktionen wird man wohl kaum als stückweise stetig bezeichnen.

Eine "Sortierung" der Unstetigkeitsstellen "von klein nach groß" wie von Marcel vorgeschlagen wird dann wohl nicht möglich sein; zumindest gibt es keine ordnungserhaltende Bijektion von [mm] $\IN$ [/mm] (oder [mm] $\IZ$) [/mm] in die Menge der Unstetigkeitsstellen.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:49 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo Tobi,

> Hallo zusammen,
>  
>
> >  mir fehlt hier ein Stück des theoretischen Hintergrunds,

> > vielleicht ist es eine dumme Frage:
>  >  Müssten beschränkte integrierbare Funktionen nicht
> > wenigstens stückweise stetig sein?
> Es gibt monotone (und somit Riemann-integrierbare)
> Funktionen [mm][a,b]\to\IR[/mm] (a<b), die in allen Punkten aus
> [mm][a,b]\cap\IQ[/mm] unstetig sind.
>  
> Solche Funktionen wird man wohl kaum als stückweise stetig
> bezeichnen.
>  
> Eine "Sortierung" der Unstetigkeitsstellen "von klein nach
> groß" wie von Marcel vorgeschlagen wird dann wohl nicht
> möglich sein; zumindest gibt es keine ordnungserhaltende
> Bijektion von [mm]\IN[/mm] (oder [mm]\IZ[/mm]) in die Menge der
> Unstetigkeitsstellen.

ja, guter Einwand.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Welche Integrierbarkeit?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Kannst Du vielleicht noch ergänzen, um welche Integrierbarkeit es geht?
Vermutlich um Riemann- oder Lebesgue-Integrierbarkeit, ich tippe sogar
eher auf letzteres!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 So 12.04.2015
Autor: phifre

Es geht tatsächlich *nur* um die Riemann-Integrierbarkeit..

Bezug
                        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 So 12.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Es geht tatsächlich *nur* um die
> Riemann-Integrierbarkeit..  

ich hab's gerade (siehe meine Mitteilung an Abakus) nachträglich nochmal
bemerkt: Du hattest ja davon geredet, dass 1/f Riemann-int'bar sein soll.

Sorry für die (etwas unnötige) Nachfrage, aber dennoch Danke für die
Klarstellung. ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Integrierbarkeit der Kehrwertf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:05 Mo 13.04.2015
Autor: fred97


> Ist [mm]f[/mm] integrierbar und beschränkt auf [mm][a,b][/mm] und gibt es
> ein [mm]k > 0[/mm] mit [mm]|f(x)| \ge k[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm], so ist
> [mm]1/f[/mm] Riemann integrierbar.
>  
>
>
> Hallo zusammen,
>  
> ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß überhaupt
> nicht, wie man da rangehen soll..
>  Was passiert, wenn [mm]f[/mm] gegen Null konvergiert, dann wächst
> 1 durch die Funktion doch über alle Schranken?
>
> Muss man für den Beweis eine Zerlegung wählen, weil man
> ja schon weiß, dass für jede Zerlegung das Ober- und
> Unterintegral von [mm]f[/mm] gleich sind?
>  
>
> Vielen Dank für einen Denkanstoß!
>  
> phifre


Wie habt Ihr denn die Riemann-Integrierbarkeit und das Riemann-Inegral eingeführt ? Je nach Zugang , fällt die Lösung Deiner Aufgabe anders aus !

Welche weiterführenden Sätze hattet Ihr ? Je nach dem , was Ihr schon hattet, fällt die Lösung länger oder kürzer aus.

Zum Beispiel ist die Antwort ganz kurz, wenn man das Lebesguesche Integrabilitätskriterium verwenden darf.

FRED

Bezug
        
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Integrierbarkeit der Kehrwertf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:11 Mo 13.04.2015
Autor: hippias

Sehr schoen muesste auch das Cauchysche Integrabilitaetskriterium anwendbar sein, wenn man die Abschaetzung [mm] $|\frac{1}{f(x)}- \frac{1}{f(y)}|= |\frac{f(x)-f(y)}{f(x)f(y)}|\leq \frac{|f(x)-f(y)|}{k^{2}}$ [/mm] benutzt.

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