Integrierbarkeit monotoner Fkt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: [mm] [a,b]\to\IR. [/mm]
Beh: f ist integrierbar |
Moin.
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob folgender Ansatz richtig ist:Ich muss doch zeigen, dass [mm] \overline{\integral_a^b}f=\underline{\integral_a^b}f.
[/mm]
Sei also f beispielsweise monoton wachsend und eine Zerlegung von [a,b] mit [mm] I_i=[t_{i-1},t_i] [/mm] [mm] (a=t_0
Dann gilt:
[mm] \overline{\integral_a^b}f=inf_Z\overline{S_n}=inf_Z(\summe_{i=1}^nsup [/mm] { [mm] f(t)|t\in[t_{i-1},t_i] [/mm] } [mm] *(t_i-t_{i-1})=inf_Z(\summe_{i=1}^nf(t_i)*(t_i-t_{i-1})=...?
[/mm]
bzw.
[mm] \underline{\integral_a^b}f=sup_Z\underline{S_n}=sup_Z(\summe_{i=1}^ninf [/mm] { [mm] f(t)|t\in[t_{i-1},t_i] [/mm] } [mm] *(t_i-t_{i-1})=sup_Z(\summe_{i=1}^nf(t_{i-1})*(t_i-t_{i-1})=...?
[/mm]
Aber wie sehen denn dieses Supremum/Infimum über diese Summen aus? der Abstand zwischen [mm] t_i [/mm] und [mm] t_{i-1} [/mm] ist doch beliebig klein, oder? Dann gehen beide Summen gegen... was???
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte, San
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Fr 28.04.2006 | | Autor: | choosy |
Hm soweit ich das in deiner beantwortung sehe ist die aufgabe bzgl. des riemann integrals gemeint und dort ist das so nicht korrekt.
z.b. ist die dirichlet funktion
[mm] $f:[0,1]\rightarrow \IR$,
[/mm]
$f(x) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in \IQ \\ 1, & \mbox{für } x\in \IR\backslash\IQ \end{cases}$
[/mm]
nich riemann-integrabel. (allerdings lebesgue-integrabel...)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Die Dirichlet-Funktion ist aber ja auch nicht monoton steigend/fallend!???
Dass die nicht integrierbar ist, weiß ich. Aber in diesem Fall könnte die Beh. stimmen. Ich glaube bloß, auf zweite Sicht, dass der Weg über die Ober-/Untersummen nicht zum Ziel führt (wenn überhaupt dann nicht gerade geschickt).
Werde wohl am Freitag erfahren, wie sich das verhält.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Fr 28.04.2006 | | Autor: | choosy |
hmm monoton stand nicht in der aufgabenstellung...
ist dann aber auch nicht schwer:
Sei $f$ monoton wachsend auf (a,b), [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig. Wähle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))<\varepsilon$
[/mm]
Definiere die folgende partition
[mm] $\{ a+i\frac{b-a}{n}:i=0...n \}$
[/mm]
und setze
[mm] $m_i:=inf\{f(x):x\in(x_{i-1},x_i)\}\geq f(x_{i-1})$
[/mm]
[mm] $M_i:=sup...\leq f(x_i)$
[/mm]
für diese ist
[mm] $S(f)-s(f)=\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\leq \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})<\varepsilon$
[/mm]
und damit ist nach dem kriterium von riemann f integrabel....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Uups.
Sry, hatte das total übersehen und scheinbar nur in die Überschrift geschrieben. Danke für die Lösung, werde sie mir bei Gelegenheit einverleiben,
Gruß
San
|
|
|
|
