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| Aufgabe | Sei f: [-1,1] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
f(x) [mm] =\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \in [-1,0[\mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \in [0,1] \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f integrierbar ist, aber keine Stammfkt. auf [-1,1] besitzt. |
Hi,
also die Integrierbarkeit würde ich zeigen in dem ich zeige das f stückweise stetig ist und somit integrierbar.
Wie zeige ich aber, dass es keine Stammfkt. auf dem Intervall besitzt?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Di 22.06.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo Snafu,
eine wesentliche Eigenschaft einer Stammfunktion auf einem Intervall I ist, dass sie auf I differenzierbar ist. Jetzt überlege Dir aber mal wie eine solche Stammfunktion aussehen müsste, vor allem bei x=0.
Gruß
Uli
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Hi,
sie muss stetig sein. Aber mein Problem ist, dass ich hier F ja gar nicht kenne. Wie kann ich denn was über sie aussagen?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 22.06.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo Snafu,
ja nun, links von x=0 ist f, was ja die Ableitung (und damit die Steigung) der Stammfunktion F sein müsste konstant = -1; rechts von 0 wäre die Steigung konstant = +1.
Gruß
Uli
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Hi,
somit könnte man folgern dass sie im Punkt 0 nicht stetig ist, aber wie zeige ich das formal?
Ich kann formal nicht nur über die Steigung von F argumentieren?
Snafu
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> somit könnte man folgern dass sie im Punkt 0 nicht stetig
> ist, aber wie zeige ich das formal?
falsch!
Sie kann in 0 durchaus stetig sein, muss aber nur nicht differenzierbar sein.
> Ich kann formal nicht nur über die Steigung von F
> argumentieren?
Doch, nimm an, dass es eine Stammfunktion F gäbe, dann schau dir mal den Differenzenquotienten in 0 an. (Tip: Der ist nur nicht stetig in 0).
MFG,
Gono.
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Hi,
dann würde ich es folgendermaßen machen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \frac{F(x) - F(0)}{x-0} [/mm] =-1 [mm] \not=1 [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} \frac{F(x) - F(0)}{x-0} [/mm] , das zeigt mir doch aber nur die nichtstetigkeit von f = F' nicht aber von F, oder?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 24.06.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hi,
>
> dann würde ich es folgendermaßen machen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} \frac{F(x) - F(0)}{x-0}[/mm] =-1
> [mm]\not=1[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 0^-} \frac{F(x) - F(0)}{x-0}[/mm]
> , das zeigt mir doch aber nur die nichtstetigkeit von f =
> F' nicht aber von F, oder?
Nein, das sind zwei verschiedene Ergebnisse für den Differentialquotienten ausgewertet an der selben Stelle. Folgerung: die Funktion F ist an dieser Stelle nicht diffbar und besitzt keine "Stammfunktion". Jedenfalls keine diffbare.
Interessanterweise ist f gleich der Ableitung der Betragsfunktion. Das ist bei 0 nicht stetig fortsetzbar, kann also gar nicht diffbar sein.
> Snafu
Grüße,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 24.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen an, f besitze die Stammfunktion F
Dann gilt:
es gibt eine Konstante [mm] c_1 [/mm] mit: F(x)= [mm] -x+c_1 [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] x<0
und
es gibt eine Konstante [mm] c_2 [/mm] mit: F(x)= [mm] x+c_2 [/mm] für 0< x [mm] \le [/mm] 1
Da F stetig in 0 ist, ist [mm] c_1=c_2 [/mm] = F(0)
Für x>0 ist dann
$ [mm] \bruch{F(x)-F(0)}{x-0}= \bruch{x+c_1-c_1}{x}=1 [/mm] $
und für x<0 ist
$ [mm] \bruch{F(x)-F(0)}{x-0}= \bruch{-x+c_1-c_1}{x}=-1 [/mm] $
Das ist ein Widerspruch zur Differenzierbarkeit von F in 0
FRED
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Hi,
ist es richtig, dass wegen der stückweisen Stetigkeit von f, f hier integrierbar ist auf ganz [mm] \IR [/mm] ?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Fr 25.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ist es richtig, dass wegen der stückweisen Stetigkeit von
> f, f hier integrierbar ist auf ganz [mm]\IR[/mm] ?
Wieso auf ganz [mm] \IR [/mm] ? f ist nur auf [-1,1] definiert:
f(x) $ [mm] =\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \in [-1,0[\mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \in [0,1] \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
Die Integrierbarkeit von f kannst Du z.B. mit einem der beiden folgenden Sätze begründen:
Satz 1: Ist f auf [a,b] stückweise stetig, so ist f auf [a,b] integrierbar.
Satz 1: Ist f auf [a,b] monoton, so ist f auf [a,b] integrierbar.
FRED
>
> Snafu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Fr 25.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Oh mist. Falsche Aufgabe. Ich entschuldige mich!
Snafu
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