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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Nachmittag
Ich zeige euch einen falschen Lösungsweg, da dies überhaupt nicht mit dem Ergebnis korrespondiert...
[mm] \integral \wurzel{1 - x^{2}} [/mm] dx
u = 1 - [mm] x^{2}
[/mm]
= [mm] \integral u^{0.5} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}* u^{1.5}
[/mm]
=
[mm] \bruch{2}{3}* [/mm] (1 [mm] -x^{2})^{1.5} [/mm] + C
Warum darf ich das nicht so lösen?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> Guten Nachmittag
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> Ich zeige euch einen falschen Lösungsweg, da dies
> überhaupt nicht mit dem Ergebnis korrespondiert...
>
> [mm]\integral \wurzel{1 - x^{2}}[/mm] dx
>
> u = 1 - [mm]x^{2}[/mm]
> = [mm]\integral u^{0.5}[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") = [mm]\bruch{2}{3}* u^{1.5}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2}{3}*[/mm] (1 [mm]-x^{2})^{1.5}[/mm] + C
>
> Warum darf ich das nicht so lösen?
Weil du ja auch das Differential dx aus dem Ausgangsintegral mitsubstituieren musst.
Es ist ja [mm] $\int{\sqrt{1-x^2} \ \red{dx}}$ [/mm] gesucht.
Mit der Substitution [mm] $u=u(x)=1-x^2$ [/mm] ist [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=-2x$, [/mm] also [mm] $\red{dx=-\frac{du}{2x}}$
[/mm]
Damit und mit [mm] $u=1-x^2\Rightarrow x=\sqrt{1-u}$ [/mm] bekämest du das substituierte Integral [mm] $\int{u^{\frac{1}{2}} \ \frac{-du}{2(1-u)^{\frac{1}{2}}}}=-\frac{1}{2}\int{\frac{u^{\frac{1}{2}}}{(1-u)^{\frac{1}{2}}} \ du}$
[/mm]
Also ist es so nur schlimmer geworden ..
Besser ist hier die Substitution [mm] $x:=\sin(u)$, [/mm] damit ist [mm] $\frac{dx}{du}=\cos(u)$, [/mm] also $dx=...$ und damit ...
> Danke
> Gruss Dinker
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Danke für die Antwort.
Ich kann es leider noch nicht nachvollziehen, wieso man sin (x) substituiert. Denn dieser Term sehe ich nirgends in der Rechnung...
Danke
Gruss Dinker
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> Hallo
>
> Danke für die Antwort.
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> Ich kann es leider noch nicht nachvollziehen, wieso man sin
> (x) substituiert. Denn dieser Term sehe ich nirgends in der
> Rechnung...
>
> Danke
> Gruss Dinker
egal was man versucht zu substituieren, es lässt sich nicht schön und komplett in ein einfaches integral umwandeln.. wenn man sich aber den "definitionsbereich" anschaut [mm] (1-x^2\ge0) [/mm] sieht man ja, dass das integral nur für x [mm] \in [/mm] [-1;1] definiert ist, was dem wertebereich von sin und cos entspricht. zusätzlich sorgt der trigonometrische pythagoras für eine schöne "auflösung". ist also quasi ein gängiges integral, was du in der trickkiste behalten wirst
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich komme nicht weiter....
Haben wir jetzt x durch sin (x) ersetzt oder was?
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Hallo Dinker,
> Hallo
>
> Ich komme nicht weiter....
>
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> Haben wir jetzt x durch sin (x) ersetzt oder was?
Nein, durch [mm] $\sin(\red{u})$, [/mm] das steht doch oben in meiner Antwort.
Außerdem ist mit [mm] $\blue{x}=x(u)\blue{=\sin(u)}$ [/mm] dann [mm] $\frac{dx}{du}=\cos(u)$, [/mm] also [mm] $\red{dx=\cos(u) \ du}$
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] $\int{\sqrt{1-\blue{x}^2} \ \red{dx}}=\int{\sqrt{1-\left(\blue{\sin(u)}\right)^2} \ \red{\cos(u) \ du}}$
[/mm]
[mm] $=\int{\sqrt{\cos^2(u)} \ cos(u) \ du} [/mm] \ \ \ $ denn [mm] $\sin^2(u)+\cos^2(u)=1$, [/mm] also [mm] $\cos^2(u)=1-\sin^2(u)$
[/mm]
[mm] $=\int{\cos^2(u) \ du}$
[/mm]
Und das kannst du nun mit partieller Integration oder mit geeigneter Anwendung der Additionstheoreme weiter verarzten
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
> Hallo Dinker,
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> > Hallo
> >
> > Ich komme nicht weiter....
> >
> >
> > Haben wir jetzt x durch sin (x) ersetzt oder was?
>
> Nein, durch [mm]\sin(\red{u})[/mm], das steht doch oben in meiner
> Antwort.
>
> Außerdem ist mit [mm]\blue{x}=x(u)\blue{=\sin(u)}[/mm] dann
> [mm]\frac{dx}{du}=\cos(u)[/mm], also [mm]\red{dx=\cos(u) \ du}[/mm]
>
> Damit ergibt sich [mm]\int{\sqrt{1-\blue{x}^2} \ \red{dx}}=\int{\sqrt{1-\left(\blue{\sin(u)}\right)^2} \ \red{\cos(u) \ du}}[/mm]
Das geht doch gerade andersrum: [mm] \bruch{d u}{dx} [/mm] ?
>
> [mm]=\int{\sqrt{\cos^2(u)} \ cos(u) \ du} \ \ \[/mm] denn
> [mm]\sin^2(u)+\cos^2(u)=1[/mm], also [mm]\cos^2(u)=1-\sin^2(u)[/mm]
>
> [mm]=\int{\cos^2(u) \ du}[/mm]
>
> Und das kannst du nun mit partieller Integration oder mit
> geeigneter Anwendung der Additionstheoreme weiter
> verarzten
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Falls du [mm] \frac{du}{dx} [/mm] möchtest, wäre dies der Kehrwert von [mm] \frac{dx}{du} [/mm] , also [mm] \frac{1}{cos(u)}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich stehe gerade völlig neben den Schuhen.
Aber wieso machen wir plötzlich etwas anderes als bisher? Also umgekehrt?
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Bisher hast Du immer substituiert [mm] $\blue{u} [/mm] \ := \ [mm] f(\red{x})$ [/mm] .
Nun machen wir dies hier genau umgekehrt mit [mm] $\red{x} [/mm] \ := \ [mm] f(\blue{u})$ [/mm] .
Damit ist dann natürlich auch die Ableitung bzw. der Differentialquotient genau umgedreht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Loddar
Danke für deine Hilfestellung
Gruss Dinker
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> Außerdem ist mit [mm]\blue{x}=x(u)\blue{=\sin(u)}[/mm] dann
> [mm]\frac{dx}{du}=\cos(u)[/mm], also [mm]\red{dx=\cos(u) \ du}[/mm]
>
> Damit ergibt sich [mm]\int{\sqrt{1-\blue{x}^2} \ \red{dx}}=\int{\sqrt{1-\left(\blue{\sin(u)}\right)^2} \ \red{\cos(u) \ du}}[/mm]
>
> [mm]=\int{\sqrt{\cos^2(u)} \ cos(u) \ du} \ \ \[/mm] denn
> [mm]\sin^2(u)+\cos^2(u)=1[/mm], also [mm]\cos^2(u)=1-\sin^2(u)[/mm]
>
> [mm]=\int{\cos^2(u) \ du}[/mm]
Hallo,
beim allerletzten obigen Schritt ist etwas Vorsicht
geboten, denn die Gleichung [mm] \sqrt{cos^2(u)}=cos(u) [/mm] gilt
nur, falls [mm] cos(u)\ge{0} [/mm] !
LG Al-Chw.
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