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Forum "Integralrechnung" - Integrieren einer e-Funktion
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Integrieren einer e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 So 25.11.2007
Autor: fraiser

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{3} [/mm] x*e^(1-x) dx=

Wie integriere ich eine e-Funktion?
Also wie funktioniert das "Aufleiten" genau?


        
Bezug
Integrieren einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 So 25.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

hier kannst du partielle Integration machen, du hast das Produkt zweier Funktionen:

v(x)=x
[mm] u'(x)=e^{(1-x)} [/mm]

v'(x)=1
[mm] u(x)=-e^{(1-x)} [/mm]

Steffi

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Integrieren einer e-Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 So 25.11.2007
Autor: fraiser

Dann wäre das hier also das korrekte Ergebnis: (-x+1)*e^(x-1)

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Integrieren einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 So 25.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, ist es nur ein Schreibfehler von dir?

[mm] (-x-1)*e^{1-x} [/mm] ist das korrekte Ergebnis,

Steffi

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Integrieren einer e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 So 25.11.2007
Autor: fraiser

Wieso?
(x*e^(1-x))' = x*e^(1-x)*(-1)+1*e^(1-x) = -x*e^(1-x)+e^(1-x) = (-x+1)e^(1-x)

mache ich etwa einen vorzeichenfehler?

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Integrieren einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 25.11.2007
Autor: leduart

Hallo
> Wieso?
>  (x*e^(1-x))' = x*e^(1-x)*(-1)+1*e^(1-x) =
> -x*e^(1-x)+e^(1-x) = (-x+1)e^(1-x)

warum differenzierst du (x*e^(1-x)) das willst du doch integrieren!
um fstzustellen dass deine Lösung falsch ist und die von Steffi richtig, musst du doch (-x+1)e^(1-x) ableiten und hoffen (x*e^(1-x)) rauszukriegen!
Gruss leduart

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Integrieren einer e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 So 25.11.2007
Autor: fraiser

Kann das mal jemand Schritt-für-Schritt integrieren, damit ich das nachvollziehen kann, weil ich das noch gar nicht gelernt hab. Ich komme einfach nicht drauf :/


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Integrieren einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 So 25.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] \integral_{}^{}{x*e^{1-x} dx} [/mm]

benutzt wird die partielle Integration

[mm] \integral_{}^{}{u'*v dx}=u*v-\integral_{}^{}{u*v'dx} [/mm]

im Integral steht das Produkt von zwei Funktionen:
v=x
[mm] u'=e^{1-x} [/mm]

brauchen wir noch:

v'=1 kein Problem
[mm] u=-e^{1-x} [/mm] über Kettenregel ableiten, so erhälst du u'(steht oben)

jetzt stur einsetzen:

[mm] \integral_{}^{}{x*e^{1-x} dx} [/mm]

[mm] =-e^{1-x}*x-\integral_{}^{}{-e^{1-x}*1 dx} [/mm] im Integral steht jetzt nicht mehr das Produkt von zwei Funktionen

[mm] =-x*e^{1-x}+\integral_{}^{}{e^{1-x} dx} [/mm] den Faktor (-1) vor das Integral ziehen

[mm] =-x*e^{1-x}+(-e^{1-x}) [/mm] leitest du [mm] -e^{1-x} [/mm] ab, so erhälst du ja [mm] e^{1-x}, [/mm] nach Kettenregel

[mm] =-x*e^{1-x}-e^{1-x} [/mm]

[mm] =(-x-1)*e^{1-x} [/mm]

Steffi


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Integrieren einer e-Funktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 So 25.11.2007
Autor: fraiser

Vielen Dank! Jetzt hab ichs ;)

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Integrieren einer e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 So 25.11.2007
Autor: sekal

Aufgabe
Welche Zahl k mit k [mm] \not\in [/mm] IR  erfüllt die Gleichung?

[mm] \integral_{k}^{-1}{x+1 dx}=2 [/mm]

Wie komm ich denn auf k?? Weil die "Nullstellen" kann ich ja nicht ausrechnen. Oder muss ich 2 für x einsetzen?

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Integrieren einer e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 So 25.11.2007
Autor: Waschi

Hallo Sekal,

du gehst hier so vor, wie du es immer machst, wenn du Integrale berechnest.
Die Nullstellen brauchst du hier nicht, weil du ja ein Integral berechnest und keine Fläche.

Du rechnest also: F(-1)-F(k)=2

Wenn du das auflöst, erhälst du eine quadratische Gleichung, die du mit pq lösen kannst.

Gruß Waschi

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Integrieren einer e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 So 25.11.2007
Autor: Steffi21

Hallo, ein Hinweis, die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also F(-1)-F(k)= - 2,
wenn du aber "genau" hinschaust, so siehst du k= ..., die Stammfunktion ist eigentlich nicht notwendig,

Steffi

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