Integrieren eines Bruches < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 08.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Ableitung des arcus Tangens ist ja [mm] (arctan(x))'=\bruch{1}{x^2+1}
[/mm]
Jetzt kann man den Nenner deiner Funktion ja noch etwas umformen (weil da ist ja etwas quadratisches, dann kann man mal mit der quad. Ergänzung rangehen):
[mm] x^2+2x+2 [/mm] = [mm] x^2+2x [/mm] + [mm] 1^2 -1^2 [/mm] +2 [mm] =(x+1)^2+1
[/mm]
Nun hast du einen Bruch der Form [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] vorliegen.
Irgendetwas mit [mm] x^2 [/mm] (in diesem Fall haste ja das x+1 in der Klammer zum quadrat) +1.
Wenn du dann eine solche Form siehst, sollte dir dann der Arcus Tangens einfallen als SF.
Man braucht dann den Blick, dass ein Bruch der Form [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] etwas mit dem Arcus Tangens zu tun hat.
So sieht man dann relativ leicht, dass ich ja anstatt des x in deiner Funktion x+1 stehen habe.
So kann ich dann schreiben, dass die SF zu deinem Bruch arctan(x+1) ist, da ja die innere Ableitung gerade 1 ergibt.
Wie gesagt, du brauchst einfach den Blick dafür:
Ein Bruch der Form
[mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] , wobei für das x natürlich auch soaws wie (x+1) oder (x-2) oder (5x+3), wobei du hier die innere Ableitung noch "ausgleichen" musst, auf den arcus Tangens als SF hinauslaufen.
Viele Grüße,
Kroni
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