Integrieren mit Brüchen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 04.07.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Berechne:
(a) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^2-2x+3}{x^2-3x+2} dx} [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht genau, wie ich das integrieren soll. Mit substitution? und wenn ja - was substituiere ich wie?
Oder gibt es da vielleicht eine unkompliziertere Methode?
Ich hatte gehofft mit Polynomdivision komme ich vielleicht auf einen für mich leichter zu integrierenden Ausdruck, dem war aber nicht so. Könnte mir hier jemand auf die Sprünge helfen?
Schönen sonntag!
|
|
| |
|
Hallo!
> Berechne:
>
> (a) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^2-2x+3}{x^2-3x+2} dx}[/mm]
> Hallo,
> ich weiß nicht genau, wie ich das integrieren soll. Mit
> substitution? und wenn ja - was substituiere ich wie?
> Oder gibt es da vielleicht eine unkompliziertere Methode?
> Ich hatte gehofft mit Polynomdivision komme ich vielleicht
> auf einen für mich leichter zu integrierenden Ausdruck,
> dem war aber nicht so. Könnte mir hier jemand auf die
> Sprünge helfen?
Das mit der Polynomdivision war schon erstmal richtig, dem kannst du im Grunde fast nie aus dem Weg gehen.
Ich erhalte dann:
[mm] $\bruch{x^2-2x+3}{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \bruch{x^2-2x+3- (x+1) + (x+1)}{x^2-3x+2} [/mm] = 1 + [mm] \frac{x+1}{x^2-3x+2}$
[/mm]
Als nächstes musst du nun mit dem verbliebenen Bruch eine ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung machen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 04.07.2010 | | Autor: | stffn |
Achso, Partialbruchzerlegung ist das Stichwort.
Ich habe es versucht, hoffe das ist richtig:
Erstmal die NS des Nenners: [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=2.
[/mm]
[mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-2}=\bruch{A(x-2)+B(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\bruch{x+1}{(x-1)(x-2)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] A(x-3)+B(x-1)=x+1
Für [mm] x_{1}=1:
[/mm]
1+1=A(1-3)+B(1-1)
A=-1
Für [mm] x_{2}=2:
[/mm]
1+2=A(2-2)+B(2-1)
B=3
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{x^2-2x+3}{x^2-3x+2} dx}=\integral_{}^{}{1-\bruch{1}{x-1}+\bruch{3}{x-2} dx}=x-log(1-x)+3log(x-2)
[/mm]
Stimmt das? Oder wenn niemand lust hat, nachzurechnen, könnte es stimmen?
Danke!!!
|
|
|
| |
|
Hallo, dein Ansatz ist korrekt, dir ist dann ein Abschreibfehler unterlaufen
A*(x-2)+B*(x-1)=x+1
Ax-2A+Bx-B=x+1
Koeffizientenvergleich:
für [mm] x^{1}: [/mm] A+B=1
für [mm] x^{0}: [/mm] -2A-B=1
A=-2 und B=3
das Endergebnis ändert sich ja nur minimal
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 04.07.2010 | | Autor: | stffn |
super, und danke auch für die kontrolle.
Ich hätte da noch eine weitere Integration:
[mm] \integral_{}^{}{cos(sin(x))cos(x) dx}
[/mm]
Hier muss ich doch substituieren? Also mit sin(x)=z ?
[mm] \bruch{dz}{dx}=cosx \gwd [/mm] dz=cosx dx
Wie würde es denn jtzt weitergehen, wenn das vom Prinzip her stimmt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 04.07.2010 | | Autor: | stffn |
> Hallo stffn!
>
>
> Bitte eröffne in Zukunft für neue Aufgaben auch eine
> neuen, eigenständigen Thread!
Ok, wird gemacht. Nächste mal.
> > [mm]\integral_{}^{}{cos(sin(x))cos(x) dx}[/mm]
> > [mm]\bruch{dz}{dx}=cosx \gwd[/mm] dz=cosx dx
> > Wie würde es denn jtzt weitergehen, wenn das vom
> Prinzip her stimmt?
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Forme nach [mm]dx \ = \ ...[/mm] um und setze anschlißend in
> das Integral ein.
> Damit erhältst Du ein Standardintegral.
Nagut, ich habe es nach dz umgeformt, dass ich das dann für cos dx einsetzen kann, so dass ich auf die folgende Form komme:
[mm] \integral_{}^{}{cosz dz}.
[/mm]
Also dann so weiter machen könnte:
[mm] \integral_{}^{}{cosz dz}=sinz+c=sin(sinx)+c.
[/mm]
Also so habe ich es jetzt gemacht, aber eigentlich macht es ja garkeinen Unterschied:
[mm] dx=\bruch{1}{cosx} [/mm] dz
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{cosz*cosx*\bruch{1}{cosx} dz}=\integral_{}^{}{cosz dz}
[/mm]
Ist das OK?
|
|
|
| |
|
Hallo stffn,
> > Hallo stffn!
> >
> >
> > Bitte eröffne in Zukunft für neue Aufgaben auch eine
> > neuen, eigenständigen Thread!
>
> Ok, wird gemacht. Nächste mal.
>
> > > [mm]\integral_{}^{}{cos(sin(x))cos(x) dx}[/mm]
>
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}=cosx \gwd[/mm] dz=cosx dx
> > > Wie würde es denn jtzt weitergehen, wenn das vom
> > Prinzip her stimmt?
> >
> > Forme nach [mm]dx \ = \ ...[/mm] um und setze anschlißend in
> > das Integral ein.
> > Damit erhältst Du ein Standardintegral.
>
> Nagut, ich habe es nach dz umgeformt, dass ich das dann
> für cos dx einsetzen kann, so dass ich auf die folgende
> Form komme:
>
> [mm]\integral_{}^{}{cosz dz}.[/mm]
>
> Also dann so weiter machen könnte:
>
> [mm]\integral_{}^{}{cosz dz}=sinz+c=sin(sinx)+c.[/mm]
>
> Also so habe ich es jetzt gemacht, aber eigentlich macht es
> ja garkeinen Unterschied:
>
> [mm]dx=\bruch{1}{cosx}[/mm] dz
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{cosz*cosx*\bruch{1}{cosx} dz}=\integral_{}^{}{cosz dz}[/mm]
>
> Ist das OK?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
