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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Do 09.06.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Seien r,s Elemente eines Integritätsbereichs R. Zeige, dass ann folgende Aussagen äquivalent sind:
i) r|s [mm] \wedge [/mm] s|r
ii) <r> = <s>
iii) Es existiert eine Einheit [mm] u\in R^{\times} [/mm] mit ur=s |
Hallo! Wäre nett wenn mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen könnte..
zu i) : r|s und s|r ist mir schonmal klar. Mein Problem ist hier, dass die Aussage unter iii) für mein Verständnis zu einfach folgt, denn wenn gilt "r teilt s" dann folgt doch schon gemäß Definition, dass es ein u gibt mit ur=s. Oder muss ich nur irgendwie zeigen dass dieses u in [mm] R^{\times} [/mm] liegt?
Weiter bin ich verwirrt über die Schreibweise <r> und <s>. Was bedeuten hier die spitzen Klammern? Sollen das Äquivalenzklassen sein?
zu ii) bin ich zwar im Internet fündig geworden:
x|y [mm] \gdw [/mm] <x> [mm] \supset [/mm] <y>
y|x [mm] \gdw [/mm] <y> [mm] \supset [/mm] <x>
woraus ja offensichtlich folgt: <x>=<y>
Würde aber trotzdem gern verstehen was es damit auf sich hat. ;)
Wäre nett wenn jemand ein paar Zeilen dazu schreiben könnte!
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Do 09.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien r,s Elemente eines Integritätsbereichs R. Zeige,
> dass ann folgende Aussagen äquivalent sind:
>
> i) r|s [mm]\wedge[/mm] s|r
>
> ii) <r> = <s>
>
> iii) Es existiert eine Einheit [mm]u\in R^{\times}[/mm] mit ur=s
> Hallo! Wäre nett wenn mir jemand bei der Aufgabe weiter
> helfen könnte..
>
> zu i) : r|s und s|r ist mir schonmal klar. Mein Problem ist
> hier, dass die Aussage unter iii) für mein Verständnis zu
> einfach folgt, denn wenn gilt "r teilt s" dann folgt doch
> schon gemäß Definition, dass es ein u gibt mit ur=s. Oder
> muss ich nur irgendwie zeigen dass dieses u in [mm]R^{\times}[/mm]
> liegt?
Du mußt zeigen: ur=s mit eine Einheit u in [mm]R^{\times}[/mm]
>
> Weiter bin ich verwirrt über die Schreibweise <r> und <s>.
> Was bedeuten hier die spitzen Klammern? Sollen das
> Äquivalenzklassen sein?
Für a [mm] \in [/mm] R ist <a>=aR
FRED
>
> zu ii) bin ich zwar im Internet fündig geworden:
>
> x|y [mm]\gdw[/mm] <x> [mm]\supset[/mm] <y>
> y|x [mm]\gdw[/mm] <y> [mm]\supset[/mm] <x>
>
> woraus ja offensichtlich folgt: <x>=<y>
> Würde aber trotzdem gern verstehen was es damit auf sich
> hat. ;)
>
> Wäre nett wenn jemand ein paar Zeilen dazu schreiben
> könnte!
> Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 12.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Also folgt tatsächlich aus der Definition von r|s, dass es ein u gibt mit: $u*r=s$ ?? Wie kann ich jetzt zeigen dass es in [mm] R^\times [/mm] liegt?
Wenn $ u*r=s $ dann ist [mm] u=\bruch{s}{r} [/mm] und wegen r|s ist u [mm] \in R^\times [/mm] ??
Vielen Dank!!
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> Hallo!
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> Also folgt tatsächlich aus der Definition von r|s, dass es
> ein u gibt mit: [mm]u*r=s[/mm] ??
Hallo,
ich verstehe Deine Frage nicht richtig.
Wie ist denn in Deiner Vorlesung "r|s" definiert worden? Da muß man doch nur nachschlagen.
> Wie kann ich jetzt zeigen dass es
> in [mm]R^\times[/mm] liegt?
Vielleicht sagst Du, um selbst Klarheit zu gewinnen, nochmal ausführlich, welche Aussage Du gerade zeigen möchtest.
> Wenn [mm]u*r=s[/mm] dann ist [mm]u=\bruch{s}{r}[/mm]
Was meinst Du mit " [mm] \bruch{s}{r} [/mm] " oder meinetwegen mit " [mm] \bruch{1}{r}"?
[/mm]
> und wegen r|s ist u [mm]\in R^\times[/mm]
> ??
Du rätst.
Was mußt Du denn zeigen, wenn Du zeigen möchtest, daß [mm] u\in R^{\times} [/mm] ist?
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 12.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke für deine schnelle Antwort!
Ich gehe jetzt davon aus, dass ich nur zeigen muss, dass u [mm] \in R^\times [/mm] liegt.
Dafür muss ich zeigen, dass es ein Element v gibt mit u*v=1.
Richtig?
Dann kann ich doch u*r=s durch s dividieren [mm] \Rightarrow u*\bruch{r}{s}=1 [/mm] und habe mein v mit [mm] v=\bruch{r}{s} [/mm] und u ist folglich eine Einheit [mm] \in R^\times [/mm] ? oder ging der Schuss wieder daneben? ;)
Vielen Dank schonmal!!
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> Hallo! Danke für deine schnelle Antwort!
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> Ich gehe jetzt davon aus, dass ich nur zeigen muss, dass u
> [mm]\in R^\times[/mm] liegt.
> Dafür muss ich zeigen, dass es ein Element v gibt mit
> u*v=1.
> Richtig?
Ja.
>
> Dann kann ich doch u*r=s durch s dividieren [mm]\Rightarrow u*\bruch{r}{s}=1[/mm]
Was meinst Du denn mit "dividieren"?
Und: darfst Du dividieren? Wenn ja: weshalb?
Gruß v. Angela
P.S.: Schreib die Aussage, die Du zeigen willst, nochmal ausführlich hin.
> und habe mein v mit [mm]v=\bruch{r}{s}[/mm] und u ist folglich eine
> Einheit [mm]\in R^\times[/mm] ? oder ging der Schuss wieder daneben?
> ;)
>
> Vielen Dank schonmal!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 12.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Habe mir alles nochmal durch den Kopf gehen lassen.. also:
Ich will zeigen (i) $ s|r [mm] \wedge [/mm] r|s <=> $ (iii) Es gibt eine Einheit u in [mm] R^\times [/mm] mit $ ur=s $.
Dazu: Es gilt s|r und r|s. [mm] \gdw [/mm] Es gibt u,v [mm] \in \IN [/mm] mit ur=s und vs=r
Also: $ vs=r [mm] \gdw v=\bruch{r}{s} [/mm] $
teile ur=s durch s => [mm] u\bruch{r}{s}=1 [/mm] und setze nun [mm] v=\bruch{r}{s} [/mm] ein:
=> uv=1 also sind u,v Einheiten [mm] \in R^{\times}
[/mm]
..und fertig. Sollte jetzt passen, oder habe ich noch etwas vergessen??
Vielen Dank!! :)
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> Ich will zeigen (i) [mm]s|r \wedge r|s <=>[/mm] (iii) Es gibt eine
> Einheit u in [mm]R^\times[/mm] mit [mm]ur=s [/mm].
Hallo,
genau.
>
> Dazu: Es gilt s|r und r|s. [mm]\gdw[/mm] Es gibt u,v [mm]\in \IN[/mm] mit
> ur=s und vs=r
Wieso [mm] "\in \IN"?
[/mm]
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> Also: [mm]vs=r \gdw v=\bruch{r}{s}[/mm]
>
> teile ur=s durch s
Jetzt ist der Punkt erreicht, an dem es nervig wird, weil ich nun zum dritten Mal ohne Antwort darauf herumreite:
was meinst Du mit "teile"?
Darfst Du das?
Wer oder was gibt Dir das Recht dazu?
(In welch einer Struktur bewegst Du Dich denn gerade? Voraussetzungen anschauen!)
> => [mm]u\bruch{r}{s}=1[/mm] und setze nun
> [mm]v=\bruch{r}{s}[/mm] ein:
>
> => uv=1 also sind u,v Einheiten [mm]\in R^{\times}[/mm]
>
> ..und fertig. Sollte jetzt passen,
Nein, es paßt überhaupt nicht, weil Du die Voraussetzungen ignorierst.
Aber aus ur=s und vs=r kannst Du doch auch ohne Deine Dividiererei etwas machen.
Gruß v. Angela
> oder habe ich noch etwas
> vergessen??
>
> Vielen Dank!! :)
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