Intergral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Von diesem Integral muss ich beweisen, dass es existiert und es gleichzeitig berechnen. Und zwar lautet das Integral folgendermaßen:
[mm] \int_{0}^{2*\pi}\frac{1}{1-2acos(x)+a^2}
[/mm]
wobei a [mm] \in \IC [/mm] außer Null und [mm] \left| a \right|\ne [/mm] 1. |
Hallo 
Bin ganz neu hier und hätte mal eine Frage bezüglich eines Integrals.
Als Hinweis ist gegeben, dass man sich das Integral von z [mm] \to \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})} [/mm] über den Rand des Einheitskreises anschauen soll.Jetzt weiß ich leider gar nicht, wie ich vorgehen soll. SOll ich das Integral von z erstmal berechnen? Wenn ja, benötige ich dazu eine Parametrisierung (wenn ja, welche?) oder kann ich das gleich mit dem Cauchyschen Integralformel berechnen, wenn ich [mm] f(z)=\frac{1}{z-a} [/mm] setze und dann [mm] 2*\pi*i*f(\frac{1}{a}) [/mm] und das gleiche dann jeweils noch mit [mm] f(z)=\frac{1}{z-\frac{1}{a}} [/mm] mache? Darf ich das machen? Wenn ja, wie kann ich von dieser Aufgabe auf die ursprüngliche Aufgabe schließen?
Wäre genial, wenn mir jemand weiter helfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mo 09.05.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Von diesem Integral muss ich beweisen, dass es existiert
> und es gleichzeitig berechnen. Und zwar lautet das Integral
> folgendermaßen:
> [mm]\int_{0}^{2*\pi}\frac{1}{1-2acos(x)+a^2}[/mm]
Ich nehme richtig an, dass $x$ die Integrationsvariable sein soll?
>
> wobei a [mm]\in \IC[/mm] außer Null und [mm]\left| a \right|\ne[/mm] 1.
> Hallo
>
Huhu,
> Bin ganz neu hier und hätte mal eine Frage bezüglich
> eines Integrals.
>
> Als Hinweis ist gegeben, dass man sich das Integral von z
> [mm]\to \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}[/mm] über den Rand des
> Einheitskreises anschauen soll.Jetzt weiß ich leider gar
Hast du das entsprechende Integral mal ausgeschrieben!? Es sollte dann das obige Integral rauskommen. (Ist aber nur meine Intuition; hab's nicht nachgerechnet!)
> nicht, wie ich vorgehen soll. SOll ich das Integral von z
> erstmal berechnen? Wenn ja, benötige ich dazu eine
> Parametrisierung (wenn ja, welche?) oder kann ich das
> gleich mit dem Cauchyschen Integralformel berechnen, wenn
> ich [mm]f(z)=\frac{1}{z-a}[/mm] setze und dann
> [mm]2*\pi*i*f(\frac{1}{a})[/mm] und das gleiche dann jeweils noch
> mit [mm]f(z)=\frac{1}{z-\frac{1}{a}}[/mm] mache? Darf ich das
> machen? Wenn ja, wie kann ich von dieser Aufgabe auf die
> ursprüngliche Aufgabe schließen?
Ich wuerde wetten, dass ihr gerade den Residuensatz in der Vorlesung hattet!?
>
> Wäre genial, wenn mir jemand weiter helfen könnte
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Zur Not schau mal hier: ![[]](/images/popup.gif) Residuensatz
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> > Von diesem Integral muss ich beweisen, dass es existiert
> > und es gleichzeitig berechnen. Und zwar lautet das Integral
> > folgendermaßen:
> > [mm]\int_{0}^{2*\pi}\frac{1}{1-2acos(x)+a^2}[/mm]
>
> Ich nehme richtig an, dass [mm]x[/mm] die Integrationsvariable sein
> soll?
Ja stimmt, das dx habe ich vergessen dran zu schreiben :/
>
> >
> > wobei a [mm]\in \IC[/mm] außer Null und [mm]\left| a \right|\ne[/mm] 1.
> > Hallo
> >
>
> Huhu,
>
> > Bin ganz neu hier und hätte mal eine Frage bezüglich
> > eines Integrals.
> >
> > Als Hinweis ist gegeben, dass man sich das Integral von z
> > [mm]\to \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}[/mm] über den Rand des
> > Einheitskreises anschauen soll.Jetzt weiß ich leider gar
>
> Hast du das entsprechende Integral mal ausgeschrieben!? Es
> sollte dann das obige Integral rauskommen. (Ist aber nur
> meine Intuition; hab's nicht nachgerechnet!)
Ja habe ich berechnet. Da kommt dann [mm] \frac{1}{z^2-az-\frac{z}{a}+1} [/mm] raus. Wenn ich das mit der richtigen Aufgabenstellung vergleiche könnte hier z=a sein, aber wo bleibt das cosinus?
>
> > nicht, wie ich vorgehen soll. SOll ich das Integral von z
> > erstmal berechnen? Wenn ja, benötige ich dazu eine
> > Parametrisierung (wenn ja, welche?) oder kann ich das
> > gleich mit dem Cauchyschen Integralformel berechnen, wenn
> > ich [mm]f(z)=\frac{1}{z-a}[/mm] setze und dann
> > [mm]2*\pi*i*f(\frac{1}{a})[/mm] und das gleiche dann jeweils noch
> > mit [mm]f(z)=\frac{1}{z-\frac{1}{a}}[/mm] mache? Darf ich das
> > machen? Wenn ja, wie kann ich von dieser Aufgabe auf die
> > ursprüngliche Aufgabe schließen?
>
> Ich wuerde wetten, dass ihr gerade den Residuensatz in der
> Vorlesung hattet!?
>
Ja. Habe das allerdings noch nicht ganz so verstanden. Ich muss praktische Residuen berechnen oder? Wie geht das?Muss ich mir dazu die Singularitäten anschauen? Das wäre ja hier a und [mm] \frac{1}{a} [/mm] oder?
> >
> > Wäre genial, wenn mir jemand weiter helfen könnte
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
>
> Zur Not schau mal hier:
> Residuensatz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mo 09.05.2016 | | Autor: | Chris84 |
> > > Von diesem Integral muss ich beweisen, dass es existiert
> > > und es gleichzeitig berechnen. Und zwar lautet das Integral
> > > folgendermaßen:
> > > [mm]\int_{0}^{2*\pi}\frac{1}{1-2acos(x)+a^2}[/mm]
> >
> > Ich nehme richtig an, dass [mm]x[/mm] die Integrationsvariable sein
> > soll?
>
> Ja stimmt, das dx habe ich vergessen dran zu schreiben :/
> >
> > >
> > > wobei a [mm]\in \IC[/mm] außer Null und [mm]\left| a \right|\ne[/mm] 1.
> > > Hallo
> > >
> >
> > Huhu,
> >
> > > Bin ganz neu hier und hätte mal eine Frage bezüglich
> > > eines Integrals.
> > >
> > > Als Hinweis ist gegeben, dass man sich das Integral von z
> > > [mm]\to \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}[/mm] über den Rand des
> > > Einheitskreises anschauen soll.Jetzt weiß ich leider gar
> >
> > Hast du das entsprechende Integral mal ausgeschrieben!? Es
> > sollte dann das obige Integral rauskommen. (Ist aber nur
> > meine Intuition; hab's nicht nachgerechnet!)
>
> Ja habe ich berechnet. Da kommt dann
> [mm]\frac{1}{z^2-az-\frac{z}{a}+1}[/mm] raus. Wenn ich das mit der
> richtigen Aufgabenstellung vergleiche könnte hier z=a
> sein, aber wo bleibt das cosinus?
*der (!) Kosinus :)
Hast du anscheinend doch nicht ;)
Ich dachte an sowas wie die Definition eines Kurvenintegrals:
[mm] $\int\limits_{\gamma} \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}dz=\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{dt}{(e^{it}-a)(e^{it}-a^{-1})} [/mm] i [mm] e^{it}=...$,
[/mm]
wobei [mm] $\gamma:[0,2\pi] \to \IC, [/mm] t [mm] \mapsto e^{it}$ [/mm] der Einheitskreis sein soll.
Wenn man da noch die komplexe Definition des Kosinus verwendet, bin ich sicher, dass das Ausgangsintegral rauskommt :)
> >
> > > nicht, wie ich vorgehen soll. SOll ich das Integral von z
> > > erstmal berechnen? Wenn ja, benötige ich dazu eine
> > > Parametrisierung (wenn ja, welche?) oder kann ich das
> > > gleich mit dem Cauchyschen Integralformel berechnen, wenn
> > > ich [mm]f(z)=\frac{1}{z-a}[/mm] setze und dann
> > > [mm]2*\pi*i*f(\frac{1}{a})[/mm] und das gleiche dann jeweils noch
> > > mit [mm]f(z)=\frac{1}{z-\frac{1}{a}}[/mm] mache? Darf ich das
> > > machen? Wenn ja, wie kann ich von dieser Aufgabe auf die
> > > ursprüngliche Aufgabe schließen?
> >
> > Ich wuerde wetten, dass ihr gerade den Residuensatz in der
> > Vorlesung hattet!?
> >
> Ja. Habe das allerdings noch nicht ganz so verstanden. Ich
> muss praktische Residuen berechnen oder? Wie geht das?Muss
> ich mir dazu die Singularitäten anschauen? Das wäre ja
> hier a und [mm]\frac{1}{a}[/mm] oder?
Genau, aber nur die, die im Einheitskreis liegt ;) (Wenn |a|<1, dann |1/a|>1 oder umgekehrt.)
> > >
> > > Wäre genial, wenn mir jemand weiter helfen könnte
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> >
> > Zur Not schau mal hier:
> >
> Residuensatz
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> > > > Von diesem Integral muss ich beweisen, dass es existiert
> > > > und es gleichzeitig berechnen. Und zwar lautet das Integral
> > > > folgendermaßen:
> > > > [mm]\int_{0}^{2*\pi}\frac{1}{1-2acos(x)+a^2}[/mm]
> > >
> > > Ich nehme richtig an, dass [mm]x[/mm] die Integrationsvariable sein
> > > soll?
> >
> > Ja stimmt, das dx habe ich vergessen dran zu schreiben :/
> > >
> > > >
> > > > wobei a [mm]\in \IC[/mm] außer Null und [mm]\left| a \right|\ne[/mm] 1.
> > > > Hallo
> > > >
> > >
> > > Huhu,
> > >
> > > > Bin ganz neu hier und hätte mal eine Frage bezüglich
> > > > eines Integrals.
> > > >
> > > > Als Hinweis ist gegeben, dass man sich das Integral von z
> > > > [mm]\to \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}[/mm] über den Rand des
> > > > Einheitskreises anschauen soll.Jetzt weiß ich leider gar
> > >
> > > Hast du das entsprechende Integral mal ausgeschrieben!? Es
> > > sollte dann das obige Integral rauskommen. (Ist aber nur
> > > meine Intuition; hab's nicht nachgerechnet!)
> >
> > Ja habe ich berechnet. Da kommt dann
> > [mm]\frac{1}{z^2-az-\frac{z}{a}+1}[/mm] raus. Wenn ich das mit der
> > richtigen Aufgabenstellung vergleiche könnte hier z=a
> > sein, aber wo bleibt das cosinus?
>
> *der (!) Kosinus :)
>
> Hast du anscheinend doch nicht ;)
> Ich dachte an sowas wie die Definition eines
> Kurvenintegrals:
>
> [mm]\int\limits_{\gamma} \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})}dz=\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{dt}{(e^{it}-a)(e^{it}-a^{-1})} i e^{it}=...[/mm],
>
> wobei [mm]\gamma:[0,2\pi] \to \IC, t \mapsto e^{it}[/mm] der
> Einheitskreis sein soll.
Ich habe so eine ähnliche Aufgabe im Skript stehen, da kürzt sich dann allerdings einiges weg, so dass man den Grenzwert für epsilon [mm] \to [/mm] 0 leicht ablesen kann. WEnn ich das aber so wie du es machst weiter ausmultipliziere und das i rausschreibe erhalte ich lediglich
[mm] i*\integral_{0}^{2\pi}\frac{1}{(e^{it}-a-\frac{1}{a})+\frac{1}{e^{it}}}dt
[/mm]
>
> Wenn man da noch die komplexe Definition des Kosinus
> verwendet, bin ich sicher, dass das Ausgangsintegral
> rauskommt :)
>
Die komplexe Definition vom Kosinus ist
[mm] cos(\phi)=\frac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2}
[/mm]
ich habe das mal in die urspüngliche Funktion geschrieben, sehe da aber noch nicht inwiefern das das gleiche sein soll wie mein INtegral über den Rand des Einheitskreises.....
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> > >
> > > > nicht, wie ich vorgehen soll. SOll ich das Integral von z
> > > > erstmal berechnen? Wenn ja, benötige ich dazu eine
> > > > Parametrisierung (wenn ja, welche?) oder kann ich das
> > > > gleich mit dem Cauchyschen Integralformel berechnen, wenn
> > > > ich [mm]f(z)=\frac{1}{z-a}[/mm] setze und dann
> > > > [mm]2*\pi*i*f(\frac{1}{a})[/mm] und das gleiche dann jeweils noch
> > > > mit [mm]f(z)=\frac{1}{z-\frac{1}{a}}[/mm] mache? Darf ich das
> > > > machen? Wenn ja, wie kann ich von dieser Aufgabe auf die
> > > > ursprüngliche Aufgabe schließen?
> > >
> > > Ich wuerde wetten, dass ihr gerade den Residuensatz in der
> > > Vorlesung hattet!?
> > >
> > Ja. Habe das allerdings noch nicht ganz so verstanden. Ich
> > muss praktische Residuen berechnen oder? Wie geht das?Muss
> > ich mir dazu die Singularitäten anschauen? Das wäre ja
> > hier a und [mm]\frac{1}{a}[/mm] oder?
>
> Genau, aber nur die, die im Einheitskreis liegt ;) (Wenn
> |a|<1, dann |1/a|>1 oder umgekehrt.)
>
Ok. Aber wie berechne ich Residuen konkret? Singularitäten sind ja die Nullstellen des Nennerpolynoms, oder? Habe gerade ein SKript gefunden indem man die Berechnung der Residuen abhängig von dem Pol macht. Aber was heißt das? EInfache Nullstelle= Einfacher Pol?
Ich steh immer noch komplett auf dem Schlauch....
> > > >
> > > > Wäre genial, wenn mir jemand weiter helfen könnte
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt
> > >
> > > Zur Not schau mal hier:
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> Residuensatz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
>
> Ich steh immer noch komplett auf dem Schlauch....
Dann wollen wir mal..... (ohne Residuensatz):
Wir setzen $h(z):= [mm] \frac{1}{(z-a)(z-a^{-1})} [/mm] $.
Dann ist [mm] $h(z)=\frac{1}{z^2-az-\frac{z}{a}+1} [/mm] $.
Wir nehmen an, dass |a|<1 ist. (Überzeuge Dich, wenn wir das alles durch haben, davon, dass der Fall |a|>1 analog geht und zum gleichen Resultat führt.)
Weiter sei [mm] c(t):=e^{it} [/mm] für $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$.
[/mm]
Wir berechnen das Kurvenintegral $A:= [mm] \integral_{c}^{}{h(z) dz}$ [/mm] auf 2 Arten.
1. Art (mit der Cauchyschen Integralformel): dazu setzen wir
[mm] f(z):=\bruch{1}{z-a^{-1}} [/mm]
und wählen ein $ r [mm] \in [/mm] (1, [mm] |a|^{-1})$ [/mm] fest. Dann ist f im Gebiet [mm] \{z \in \IC:|z|
Es ist
[mm] $A=\integral_{c}^{}{\bruch{f(z)}{z-a} dz}$. [/mm]
Nach der Cauchyschen Integralformel ist dann
(1) $A=2 [mm] \pi [/mm] if(a)=2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \bruch{a}{a^2-1}.$
[/mm]
Das merken wir uns !
2. Art (zu Fuß): zu Fuß bekommen wir zunächst
[mm] $A=\integral_{0}^{2 \pi}{h(e^{it})*i e^{it} dt}$,
[/mm]
Du sollst auch was tun, also rechne nach:
[mm] h(e^{it})*i e^{it}= \bruch{ia}{ae^{it}+ae^{-it}-a^2-1}= \bruch{-ia}{a^2+1-2acos(t)}.
[/mm]
Setzen wir $B:= [mm] \int_{0}^{2 \pi}\frac{1}{1-2acos(t)+a^2} [/mm] dt $, so ist also
(2) $A=-ia B$.
Nun bemühe (1), um $B$ zu berechnen.
FRED
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