Interpolation mit 2 Variablen < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:30 Mo 28.10.2013 | | Autor: | Differential |
| Aufgabe | Geg.: n + 1 paarweise verschiedene reele Zahlen [mm] x_0,\cdots ,x_n [/mm] und m+1 paarweise verschiedene Zahlen [mm] y_0,\cdots ,y_m.
[/mm]
Zu zeigen: Zu den (n+1)(m+1) reelen Zahlen [mm] f_{i,j} [/mm] mit [mm] 0\le i\le n,0\le j\le [/mm] m gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
[mm] P_{n,m}(x,y)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i,j}x^i y^j
[/mm]
mit [mm] P_{n,m}=f_{i,j} [/mm] für alle [mm] i=0,\cdots [/mm] ,n und j [mm] =0,\cdots [/mm] ,m und [mm] P_{n,m} [/mm] ist ein Polynom vom Grad kleiner gleich n in x und kleiner gleich m in y. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich finde keinen konkreten Ansatz dafür. Wir hatten bereits: Zu n+1 gegebenen Datenpunkten gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom n-ten Grades ...
Aber wie muss ich das machen, wenn ich hier zwei Variablen gegeben habe. Habt Ihr einen Anstoss für mich?
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 28.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du dir das mal für kleine n,m etwa 2 und 3 aufgeschrieben?
welches GS musst du dann lösen?
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EDIT:
So langsam verstehe ich die Problemtellung besser. Wir befinden uns im Vektorraum der Polynom vom Grad max{n,m} mit Basis [mm] (1,x,\dots, x^{max{n,m}}).
[/mm]
Wir haben (n+1)(m+1) Gleichungen [mm] P_{n,m}(x_i,y_j)=f_{i,j} [/mm] für die Koeffizienten [mm] a_{i,j} [/mm] der Basisdarstellung [mm] P_{n,m}=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i,j}x^iy^j.
[/mm]
Für m=n=1 haben wir [mm] f_{i,j}=P_{1,1}(x_i,y_j)=a_{0,0}+a_{0,1}y_j+a_{1,0}x_i+a_{1,1}x_iy_j
[/mm]
Ich vermute, dass ich das jetzt in Matrix-Schreibweise überführen und dann zeigen muss, aber wie es dann weiter geht ...
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Kann mir wirklich niemand helfen? Also im Beispiel m=n=1 ergibt sich ja [mm] P_{1,1}(x,y)=a_{0,0}+a_{0,1}y+a_{1,0}x+a_{1,1}xy
[/mm]
Da [mm] P_{1,1}(x_i,y_j)=f_{i,j} [/mm] gelten soll, haben wir ein Gleichungssystem der Form
[mm] \begin{pmatrix} 1&x_0&y_0&x_0y0\\1&x_1&y_0&x_1y0\\1&x_0&y_1&x_0y1\\1&x_1&y_1&x_1y1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{0,0}\\a_{1,0}\\a_{0,1}\\a_{1,1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_{0,0}\\f_{1,0}\\f_{0,1}\\f_{1,1} \end{pmatrix} [/mm]
Jetzt müsste ich zeigen, dass dieses (und dies natürlich auch für allgemeine m,n) eindeutig lösbar ist.
Ist das der richtige Ansatz? Wenn ja, wie stelle ich das an? Falls nein, was mache ich falsch?
Ich hoffe wirklich ihr könnt mir weiterhelfen. So langsam verzweifle ich ...
Gruß
Differential
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Es tut mir leid, wenn die Frage zu einfach ist. Aber ich brauche hier wirklich eure Hilfe; ein kleiner Tipp oder ein Verweis auf eine Lektüre, würde mir vielleicht schon helfen.
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Di 29.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ein inhimogenes GS, eigentlich weißt du sicher, wann das lösbar ist.
Stell Fragen nicht als Mitteilung, dann sieht man sie nicht als offene Fragen und du hast kleine Chancen auf Antwort.
Gruss leduart
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Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn die Matrix invertierbar ist; Die Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist oder ihr Kern ungleich {0} ist.
Doch wie setze ich das hier zielführend ein?
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Wirklich niemand kann mir helfen? Vermutlich ist es gar nicht schwer, aber ich komme einfach zu keiner Lösung.
Bitte gebt mir doch noch einen Rat oder verweist mich an andere Stelle. Darüber würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 31.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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