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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 08.02.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | | Die Fkt. f(x)=exp(2x) werde auf dem Intervall [-1,1], durch ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n in den Knoten [mm] x_k=cos(\bruch{2k+1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}), [/mm] k=0,...,n, interpoliert. Gebe eine möglichst gute Abscgätzung des max. Interpolationsfehler auf [-1,1] in Abh. von n (unabhängig von f) an. Für welches n ist der Interpolationsfehler kleiner als [mm] 10^{-4} [/mm] |
Hallo,
ich sitze vor diese aufgabe und komme leider nciht weiter.
die Interpolationsfehler ist folg def.:
[mm] f(x)-p(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)max\bruch{f^{n+1}(\eta)}{(n+1)!} [/mm] wobei [mm] \eta\in[-1,1]
[/mm]
ich habe dann die stützstellen berechnet (aber das sind unendlich viele, da abh. von n)
[mm] x_0=cos(\bruch{1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] x_1=cos(\bruch{3}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}) [/mm]
[mm] x_2=cos(\bruch{5}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}) [/mm]
.....
[mm] x_n=cos(\bruch{2n+1}{n+1}\cdot{\pi}{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)-p(x)=(x-cos(\bruch{1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}))\cdot(x-cos(\bruch{3}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}) )\cdots(x-cos(\bruch{2n+1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2})) [/mm] max [mm] \bruch{2(n+1)exp(\eta)}{(n+1)!}
[/mm]
Ist es überhaupt richtig was ich bis hierhin gemacht habe?
kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Di 10.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo knowhow!
> Die Fkt. f(x)=exp(2x) werde auf dem Intervall [-1,1], durch
> ein Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] n in den Knoten
> [mm]x_k=cos(\bruch{2k+1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}),[/mm] k=0,...,n,
> interpoliert. Gebe eine möglichst gute Abscgätzung des
> max. Interpolationsfehler auf [-1,1] in Abh. von n
> (unabhängig von f) an. Für welches n ist der
> Interpolationsfehler kleiner als [mm]10^{-4}[/mm]
> Hallo,
>
> ich sitze vor diese aufgabe und komme leider nciht weiter.
>
> die Interpolationsfehler ist folg def.:
>
> [mm]f(x)-p(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)max\bruch{f^{n+1}(\eta)}{(n+1)!}[/mm]
> wobei [mm]\eta\in[-1,1][/mm]
Du meinst
[mm] \left|f(x)-p_n(x)\right|\le\frac{\max_{\eta\in[-1,1]}|f^{(n+1)}(\eta)|}{(n+1)!}\left|\produkt_{k=0}^{n}(x-x_k)\right|.
[/mm]
> ich habe dann die stützstellen berechnet (aber das sind
> unendlich viele, da abh. von n)
>
> [mm]x_0=cos(\bruch{1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]x_1=cos(\bruch{3}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]x_2=cos(\bruch{5}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2})[/mm]
> .....
> [mm]x_n=cos(\bruch{2n+1}{n+1}\cdot{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x)-p(x)=(x-cos(\bruch{1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}))\cdot(x-cos(\bruch{3}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}) )\cdots(x-cos(\bruch{2n+1}{n+1}\cdot\bruch{\pi}{2}))[/mm]
> max [mm]\bruch{2(n+1)exp(\eta)}{(n+1)!}[/mm]
Es gilt:
[mm] f^{(n+1)}(\eta)=2(n+1)\exp(2\eta).
[/mm]
> Ist es überhaupt richtig was ich bis hierhin gemacht habe?
> kann mir da jemand weiterhelfen?
Finde nun eine Abschätzung auf [mm] $[-1,1]\$, [/mm] die unabhängig von [mm] $f\$ [/mm] ist.
Gruß
DieAcht
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