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Forum "Interpolation und Approximation" - Interpolationsfehler Lagrange
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Interpolationsfehler Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Mo 18.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Sei [mm] f \in C^{n+1}([a,b]) [/mm] und es gelte [mm] f(x_i)=y_i (i=0,...,n) [/mm]. Für die Lösung p [mm] \in P_r [/mm] der Lagrange-Interpolationsaufgabe und jedes [mm] x \in [a,b] [/mm] existiert dann ein [mm] \phi \in [/mm] [a,b], sodass gilt:

[mm] f(x)-p(x) = \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j) [/mm].

Für den Interpolationsfehler gilt [mm] ||f-p||_{C^0([a,b])} \le \bruch{||f^{(n+1)}||_{C^0([a,b])}}{(n+1)!} (b-a)^{n+1} [/mm]

Hallo!

Ich verstehe noch nicht, wie man auf die Abschätzung kommt.

Die linke Seite: Man nimmt durch diese Norm den größten Punkt, der durch f-p erreicht werden kann, damit die Abschätzung später nicht verfälscht wird.

Die rechte Seite: Warum man dann auch hier den größten Punkt der (n+1)-ten Ableitung von f nimmt, verstehe ich nicht.
Und woher kommt der letzte Faktor?

Kann mir hierbei jemand helfen?

Liebe Grüße,
Lily

        
Bezug
Interpolationsfehler Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mo 18.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

schreibe mal die Definition der [mm] $C^0$-Norm [/mm] explizit hin.

Wende dann $ f(x)-p(x) = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j) [/mm] $ an und bedenke, dass trivialerweise [mm] $|x-x_j| \le [/mm] (b-a)$ gilt.

Gruß,
Gono

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Interpolationsfehler Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Di 19.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Aha!

[mm] ||f||_{C^0(I)}=max_{x \in I} |f(x)| [/mm]

Also so?

[mm] ||f-p||_{C^0([a,b])} = || \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi) \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} \le \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || (b-a)^{n+1} [/mm]

Liebe Grüße,
Lily

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Interpolationsfehler Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Di 19.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Irgendwie scheinen die Codes, die ich sonst verwende nicht zu funktionieren :-/

Weiß jemand warum? So ist das ja recht unübersichtlich...

Bezug
                                
Bezug
Interpolationsfehler Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Di 19.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Umwandlung von Code-Eingaben in Formeln ist aktuell defekt. Ist nur ein temporäres Problem… ich beantworte deine Frage aber trotzdem.

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Interpolationsfehler Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Di 19.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> [mm]||f||_{C^0(I)}=max_{x \in I} |f(x)|[/mm]

[ok]
  

> Also so?
>  
> [mm]||f-p||_{C^0([a,b])} = || \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi) \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} \le \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || (b-a)^{n+1}[/mm]

die Idee hast du verstanden, der Aufschrieb ist allerdings grottig.
Du schreibst pauschal immer "=" obwohl das schon beim ersten Gleichheitszeichen keinen Sinn macht.

Mach dir auch mal klar: du willst gar nicht Gleichheit zeigen, es reicht dir [mm] $\le$ [/mm] zu zeigen. Mach dir auch klar, warum eben NICHT "=" gilt, sondern oftmals nur [mm] "$\le$". [/mm]

Desweiteren gibt es keine Schreibweise, in der man das Funktionsargument in der [mm] $C^0$-Norm [/mm] angibt.
Wieso verwendest du nicht SAUBER die Definition, dann passiert dir sowas nicht?

Gruß,
Gono

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Interpolationsfehler Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Di 19.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Ok, vielen Dank! Ich werde in Zukunft besser darauf achten! :-)

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